Метод наименьших квадратов (МНК)

Простейшую экстраполяционную модель, отражающую взаимосвязь прогнозируемого показателя с некоторой переменной, формирующей динамику этого показателя, можно записать в виде

, (3.21)

где – значение -го наблюдения прогнозируемого показателя;

– значение переменой, формирующей динамику показателя в момент времени (для трендовых моделей, являющихся частным случаем экстраполяционных, );

– вектор неизвестных параметров, оцениваемых по данным временного ряда;

– функция, определяющая структуру трендовой модели (линейную, степенную и т.п.);

– ненаблюдаемая случайная величина, представляющая собой ту часть вариации показателя , которая не объясняется соответствующими изменениями переменной .

Чем ниже уровень вариаций около 0 возможных значений случайной величины , тем точнее модель отражает взаимодействие переменной с прогнозируемым показателем , т.е. параметры модели должны подбираться таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений (случайных составляющих )

. (3.22)

В общем случае поиск оптимальных параметров сводится к решению нелинейной экстремальной задачи. Обычно рассматривают линейный случай

(3.23)

который значительно упрощает решение этой задачи.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов к случаю построения линейного тренда. Для этого случая (3.22) перепишется в виде

(3.24)

Применяя дифференциальное исчисление для минимизации (3.24) и дифференцируя по и , получаем систему линейных уравнений

(3.25)

Разделив левую и правую части этой системы на число наблюдений и произведя замену:

; ; ; ,

перепишем систему (3.25) в виде

(3.26)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: