Из уравнения (3.49) находим

Определим теперь

(3.54)

Поскольку

то

(3.55)

3.5. Адекватность. Критерий Дарбина – Уотсона

Проверка адекватности трендовых моделей реальному процессу строится на основе анализа случайной компоненты. В расчетах случайная компонента заменяется остатками, представляющими собой разность фактических и расчетных значений

(3.56)

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости и подчиняются нормальному закону распределения.

При правильном выборе тренда отклонения от него будут носить случайный характер. В случае если вид функции выбран неудачно, то последовательные значения остатков могут не обладать свойством независимости, т.е. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок.

Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции. Наиболее распространенным является критерий Дарбина – Уотсона. Этот критерий связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка. Его значения определяются по формуле

. (3.57)

Для понимания смысла этой формулы преобразуем ее, сделав предварительное допущение, положив . Непосредственное преобразование формулы осуществляется следующим образом:

.

При достаточно большом сумма из слагаемых значительно превосходит сумму из двух слагаемых и поэтому отношением этих величин можно пренебречь. Кроме того, отношение в квадратных скобках в силу того, что , можно считать коэффициентном корреляции между и . Таким образом, критерий Дарбина – Уотсона записывается в виде

. (3.58)

Полученное представление критерия позволяет сделать вывод, что статистика Дарбина – Уотсона связывает с выборочным коэффициентом корреляции . Таким образом, и значение критерия может указывать на наличие или отсутствие автокорреляции в остатках. Причем, если , то . Если (положительная автокорреляция), то ; если (отрицательная автокорреляция), то .

Статистически значимая уверенность в наличии или отсутствии автокорреляции определяется с помощью таблицы критических точек распределения Дарбина – Уотсона. Таблица позволяет по заданному уровню значимости , числу наблюдений и количеству переменных в модели определить два значения: – нижняя граница и – верхняя граница.

Таким образом, алгоритм проверки автокоррелированности остатков по критерию Дарбина – Уотсона следующий:

1) Построение трендовой зависимости с помощью обычного МНК

;

2) Вычисление остатков

для каждого наблюдения ();

3) Расчет статистики Дарбина – Уотсона по формуле (3.57);

4) По таблице критических точек определяются два числа и и делается вывод в соответствии со следующими правилом:

– существует положительная автокорреляция;

– решение о наличии или отсутствии автокорреляции не принимается;

– автокорреляция отсутствует;

– решение о наличии или отсутствии автокорреляции не принимается;

– существует отрицательная автокорреляция.

Проверка гипотезы

: автокорреляция равна нулю

хорошо иллюстрируется графической схемой на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Графическая схема проверки автокоррелированности остатков

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: