ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Решая линейную систему (3.26) с помощью заменыполучаем оценки коэффициентов линейной трендовой модели в виде ; . (3.27) В случае, когда в качестве тренда выбрана нелинейная функция, возникают некоторые проблемы построения таких функций с помощью МНК. Рассмотрим все варианты, которые могут иметь место в таких случаях. Нелинейные модели принято делить на три класса: нелинейные по независимой переменной; нелинейные по оцениваемым параметрам, но приводящиеся путем преобразования к линейному виду; нелинейные по оцениваемым параметрам и не приводящиеся к линейному виду. Нелинейные по независимой переменной: § парабола ; § полином третьей степени ; § равносторонняя гипербола . Нелинейные по оцениваемым параметрам: · степенная ; · показательная ; · экспоненциальная . Коэффициенты моделей первого класса после замены переменных рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов. Построение моделей второго класса требует предварительного их приведения к линейному виду путем логарифмирования ; ; . После построения с помощью метода наименьших квадратов преобразованных моделей коэффициенты исходных моделей в случае необходимости получаются путем потенцирования. Модели третьего класса (логистическая модель Перла – Рида и кривая Гомперца) не приводятся к линейному виду и, следовательно, не могут быть построены с помощью МНК.
Метод трех сумм Метод трех сумм является упрощенным методом оценивания параметров нелинейных моделей, принадлежащих третьему классу согласно классификации, проведенной в предыдущем параграфе. Применение этого метода к различным моделям привносит определенную специфику в его реализацию. Ниже рассматриваются варианты применения метода трех сумм к построению трех моделей: модифицированной экспоненте, кривой Гомперца и логистической кривой Перла – Рида. Метод трех сумм для модифицированной экспоненты. Наиболее простой моделью, для построения которой необходимо применять метод трех сумм, является модифицированная экспонента (3.28) Поэтому вначале изложим вычислительную схему метода трех сумм применительно к модифицированной экспоненте. В соответствии с этим методом весь ряд наблюдений
разбивается на три равных отрезка или периода по n уровней в каждом. Сумму уровней для каждого периода обозначим как . Если бы уровни ряда были в точности рассчитаны по модифицированной экспоненте, т.е. …………, то сумма этих уровней для первого периода составила бы величину (3.29) Прежде чем перейдем к определению , упростим выражение (3.28). Нетрудно понять, что сумма в скобках – это геометрическая прогрессия со знаменателем . Поэтому Откуда получаем, что (3.30) Аналогично определим две следующие суммы: (3.31) (3.32) Решение системы из 3-х уравнений (3.30) – (3.32) позволяет определить три искомых параметра. Это решение получается в предположении, что суммы уровней расчетного ряда равны суммам уровней фактического ряда. Для получения решения вычтем первое уравнение из второго и второе из третьего. Получаем (3.33) (3.34) Решим эту систему относительно , для чего разделим (3.34) на (3.33), в итоге получим: а, следовательно, (3.35) Подставляя в (3.33) найдём (3.36) И, наконец, из уравнения (3.30) найдём k . (3.37) Таким образом, определены все параметры модифицированной экспоненты. Заметим, что данный метод очень чувствителен к колебаниям исходных данных. Разность сумм в знаменателе при вычислении может оказаться равной нулю или быть отрицательной, и тогда нельзя определить. Поэтому перед расчётом параметров данные необходимо подвергнуть сглаживанию. Метод трех сумм для кривой Гомперца. Как известно, кривая Гомперца имеет вид (3.38) Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|