Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Решая линейную систему (3.26) с помощью замены




получаем оценки коэффициентов линейной трендовой модели в виде

; . (3.27)

В случае, когда в качестве тренда выбрана нелинейная функция, возникают некоторые проблемы построения таких функций с помощью МНК. Рассмотрим все варианты, которые могут иметь место в таких случаях.

Нелинейные модели принято делить на три класса: нелинейные по независимой переменной; нелинейные по оцениваемым параметрам, но приводящиеся путем преобразования к линейному виду; нелинейные по оцениваемым параметрам и не приводящиеся к линейному виду.

Нелинейные по независимой переменной:

§ парабола ;

§ полином третьей степени ;

§ равносторонняя гипербола .

Нелинейные по оцениваемым параметрам:

· степенная ;

· показательная ;

· экспоненциальная .

Коэффициенты моделей первого класса после замены переменных рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов. Построение моделей второго класса требует предварительного их приведения к линейному виду путем логарифмирования

;

;

.

После построения с помощью метода наименьших квадратов преобразованных моделей коэффициенты исходных моделей в случае необходимости получаются путем потенцирования.

Модели третьего класса (логистическая модель Перла – Рида и кривая Гомперца) не приводятся к линейному виду и, следовательно, не могут быть построены с помощью МНК.

 

Метод трех сумм

Метод трех сумм является упрощенным методом оценивания параметров нелинейных моделей, принадлежащих третьему классу согласно классификации, проведенной в предыдущем параграфе. Применение этого метода к различным моделям привносит определенную специфику в его реализацию. Ниже рассматриваются варианты применения метода трех сумм к построению трех моделей: модифицированной экспоненте, кривой Гомперца и логистической кривой Перла – Рида.

Метод трех сумм для модифицированной экспоненты. Наиболее простой моделью, для построения которой необходимо применять метод трех сумм, является модифицированная экспонента

(3.28)

Поэтому вначале изложим вычислительную схему метода трех сумм применительно к модифицированной экспоненте.

В соответствии с этим методом весь ряд наблюдений

разбивается на три равных отрезка или периода по n уровней в каждом. Сумму уровней для каждого периода обозначим как .

Если бы уровни ряда были в точности рассчитаны по модифицированной экспоненте, т.е.

…………,

то сумма этих уровней для первого периода составила бы величину

(3.29)

Прежде чем перейдем к определению , упростим выражение (3.28). Нетрудно понять, что сумма в скобках – это геометрическая прогрессия со знаменателем . Поэтому

Откуда получаем, что

(3.30)

Аналогично определим две следующие суммы:

(3.31)

(3.32)

Решение системы из 3-х уравнений (3.30) – (3.32) позволяет определить три искомых параметра. Это решение получается в предположении, что суммы уровней расчетного ряда равны суммам уровней фактического ряда.

Для получения решения вычтем первое уравнение из второго и второе из третьего. Получаем

(3.33)

(3.34)

Решим эту систему относительно , для чего разделим (3.34) на (3.33), в итоге получим:

а, следовательно,

(3.35)

Подставляя в (3.33) найдём

(3.36)

И, наконец, из уравнения (3.30) найдём k

. (3.37)

Таким образом, определены все параметры модифицированной экспоненты.

Заметим, что данный метод очень чувствителен к колебаниям исходных данных. Разность сумм в знаменателе при вычислении может оказаться равной нулю или быть отрицательной, и тогда нельзя определить. Поэтому перед расчётом параметров данные необходимо подвергнуть сглаживанию.

Метод трех сумм для кривой Гомперца. Как известно, кривая Гомперца имеет вид

(3.38)






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных