Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Обработка результатов косвенных измерений




 

Рассмотрим случай, когда интересующая нас величина z является функцией k непосредственно измеряемых величин x1, x2,…, xk:

   
z = z(x1, x2, …, xk). (8.4.1)
   

Обозначим через x1i, x2i,…, xni набор значений, принимаемых первичными переменными при их i-м измерении. Пусть всего проведено n измерений и, соответственно, получено n таких наборов, то есть i пробегает значения от 1 до n: i = (1, n). При обработке этих результатов можно поступить двояким образом.

 

Способ 1

Вычисляем n значений zi функции z, подставляя в выражение (8.4.1) конкретные наборы значений аргументов x1i, x2i,…, xki:

     
zi = z(x1i, x2i,…, xki), i = (1, n). (8.4.2)
     

После этого совокупность вычисленных значений zi обрабатываем как серию прямых измерений с помощью формул (5.2.1) и (8.3.1):

· находим среднее арифметическое из этих n значений zi функции z

(8.4.3)
   

· оцениваем ошибку косвенных измерений по формуле Стьюдента (8.3.1)

   
(8.4.4)
   

 

Способ 2

По n значениям каждой из напрямую измеренных переменных x1, x2,…, xk:с помощью методики Стьюдента по формулам (5.2.1) и (8.3.1), (7.3.2), (7.4.2), (7.5.1) находим:

· средние значения аргументов <x1>, <x2>, …, <xk>;

· ошибки Dx1, Dx2, …, Dxk. При этом для всех переменных принимаем одно и то же значение надежности p = 0.95

Конечный результат находится подстановкой найденных средних <x1>, <x2>, …, <xk> от непосредственно измеренных величин в формулу для функции z

   
z = z(<x1>, <x2>, …, <xk>). (8.4.5)
   

Полуширину доверительного интервала Dz для результата косвенных измерений оцениваем по формуле

   
  (8.4.6)
   

где - частные производные функции z, вычисляемые при значениях переменных x1 = <x1>, x2 = <x2>, …, xk = <xk>. Каждая частная производная может быть найдена как обыкновенная производная функции z(x1, x2, …) по соответствующему аргументу, если оставшиеся аргументы рассматривать как постоянные параметры ([5], с. 107).

Результирующая погрешность Dz имеет ту же надежность p = 0.95.

 

Сравнивая слагаемые в подкоренном выражении (8.4.6), можно понять, погрешности каких из непосредственно измеряемых величин вносят наибольший вклад в окончательную ошибку Dz. Указанный анализ выражения (8.4.6) для результирующей ошибки Dz полезен для того, чтобы при подготовке и проведении эксперимента направить основные усилия на повышение точности в определении тех параметров, которые вносят основной вклад в ошибку Dz и, напротив, увидеть, на измерения каких величин можно не затрачивать большого труда.

 

 

В качестве примера применения второго способа рассмотрим обработку косвенных измерений величины z по измерениям двух величин - x и y: z = z(x, y). Среднее значение <z> находим по средним <x> и <y>

   
<z> = z(<x>, <y>), (8.4.7)
   

а для вычисления погрешности Dz воспользуемся правилом (8.4.6)

   
(8.4.8)
   

где Dx и Dy – погрешности в определении величин x и y.

 

Пусть, например, в нашей задаче об определении расстояния шагами (параграф 8.1) требовалось определить не число шагов X от дома до работы, а расстояние L в метрах. Тогда необходимо было бы еще измерить среднюю длину шага l на некоторой мерной длине, например, на стометровке. Пусть в результате этих дополнительных измерений оказалось, что длина шага l равна

     
l = (0.99 ± 0.02) м (p = 0.95). (8.4.9)

Тогда среднее расстояние от дома до работы <L> = <x><l> равнялось бы

   
<L> = <x><l> = 6.4∙103∙0.99 6.3∙103 м. (8.4.10)
   

Для того, чтобы оценить погрешность опыта, учтем, что в нашем случае формула (8.4.8) приводит к следующему выражению:

   
(8.4.11)
   

которое удобно записать, разделив обе части на <L>2 = <x>2<l>2:

   
(8.4.12)
   

Отсюда можно найти погрешность

   
(8.4.13)
   

Разрешая это уравнение относительно DL, находим DL 2∙102 м. Таким образом, окончательный результат должен быть записан так:

     
L = (6.3 ± 0.2)∙103 м (p = 0.95). (8.4.14)
     

 

Более подробные сведения по статистической обработке данных можно найти в книгах [1] и [6]. В них показано, в частности, что, если ошибки измерений малы по сравнению с измеряемой величиной, то оба приведенных выше способа обработки результатов косвенных измерений дают одинаковые данные. Однако с точки зрения удобства расчетов второй способ представляется менее трудоемким.


 

 




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2018 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных