![]() ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Производная сложной функции.Исследование функции с помощью производной.
Пусть Т.3.1. Если функция
Пример.
Задача. Найти производную сложной функции.
Опр.3.1. Точки мах и min функции называются точками экстремума функции. Пример. Y=|x|, x=0 – точка min. Т.3.2. пусть выполняются следующие условия: 1. 2. При переходе аргумента x через точку Тогда точка 1) Если при переходе через точку 2) Если при переходе через точку Пример. Опр. 3.2. Функция
Аналогично выпуклая вверх с заменой слов «над» графиком на слова «под» графиком. Опр.3.3. Точка
Т.3.3. Пусть Пример. Т.3.4. пусть точка 1) Если при переходе через 2) Если при переходе через
Схема исследования функции с помощью производной: 1) найти область определения функции; 2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют); 3) исследовать функцию на четность (нечетность) и на периодичность (для тригонометрических функций); 4) найти экстремумы и интервалы монотонности функции; 5) определить интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба; 6) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты; 7) найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график. Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика. Пример. Исследовать функцию график. Решение: 1. Область определения 2. Функция непрерывна во всей ее области определения. Следовательно, нет ни точек разрыва, ни вертикальных асимптот. 3. Функция четная, так как
График функции симметричен относительно оси ординат. 4. Экстремумы и интервалы монотонности.
На интервалах (-∞; -1) и (0; 1) функция убывает, на интервалах (-1; 0) и (1; +∞) - возрастает. При переходе через критические точки x1 = -1 и х3 = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этих точках функция имеет минимум. 5. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
получим
Таким образом, кривая, вогнутая на интервалах
6. Наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, если существуют конечные пределы:
Таким образом, функция не имеет наклонных асимптот. 7. Дополнительные точки, уточняющие график:
Задачи. 1. Вычислить производные. 2. Построить график функции.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|