Решение задач на растворы, используя правило креста (конверт Пирсона).

Очень часто учителям химии в лабораторной практике и при решении олимпиадных задач, а учителям математики при разборе задач ЕНТ, приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. В некоторых случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчет. Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «конверта Пирсона», или, что, то же самое, правило креста). Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно нам. Тогда, если обозначить массу первого раствора через m₁, а второго – через m₂, то при смешивании общая масса смеси будет слагаться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворенного вещества в первом растворе – ₁, во втором – ₂, а в их смеси – ₃. Тогда общая масса растворенного вещества в смеси будет слагаться из масс растворенного вещества в исходных растворах: . Отсюда ;

.

Видно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворенного вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения. При расчетах записывают одну над другой массовые доли растворенного вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Результаты этих вычитаний показывают отношение массы первого раствора к массе второго раствора, необходимые для приготовления нужного раствора.

Применение правила креста удобнее и проще при решении задач на растворы. Этот способ более экономичен по времени и менее трудоемок, что особенно важно при подготовке учащихся к ЕНТ. Правило креста можно применять и в тех случаях, когда нужно получить раствор меньшей концентрации путем разбавления водой более концентрированного раствора или получить более концентрированный раствор путем добавления к исходному раствору концентрированного вещества. Рассмотрим это на примерах.

1. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 15 л морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

A) 25 л

B) 42 л

C) 30 л

D) 40 л

E) 35 л.

Решение: Составляем таблицу данных: . Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали: .

Значит, отношение массы морской воды к массе пресной воды равно 1,5: 3,5. Составляем пропорцию: . Откуда находим количество пресной воды: .

Решая эту задачу методом пропорций, получаем более сложное решение.

Сначала находим, сколько литров соли содержится в 15 л морской воды, для чего составляем пропорцию: . Откуда соли в 15 литрах морской воды.

Пусть к 15 л морской воды добавили у л пресной воды. Количество соли в новом растворе не меняется и по условию задачи составляет 1,5 %. Получаем новую пропорцию: . Решая эту пропорцию, приходим к уравнению: .

Значит, 35 л пресной воды добавили.

Ответ: 35 л.

2.В растворе содержится 40 % соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70 % соли. Найдите массу соли в первоначальном растворе.

A) 120 г.

B) 48 г.

C) 64 г.

D) 60 г.

E) 24 г..

Решение: Составляем таблицу данных: .

Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали: . Значит, отношение массы раствора соли к массе соли равно 30:30=1:1. Это значит, что, если добавили 120 г чистой соли, то самого раствора было тоже 120 г. Для нахождения массы соли в первоначальном растворе используем формулу массовой доли вещества: . Откуда находим количество соли в растворе, зная, что : .

Решая эту задачу методом пропорций, получаем более сложное решение.

Пусть масса соли в первоначальном растворе х г. Сначала находим массу всего раствора, для чего составляем пропорцию: .

Откуда . По условию задачи к этому раствору добавили 120 г соли. Количество соли в новом растворе меняется и теперь составляет (х+120) г. Получаем новую пропорцию: . Решая эту пропорцию, приходим к уравнению: .

Значит, 48 г соли было в первоначальном растворе.

Ответ: 48 г.

3. К 15 литрам 10 % раствора соли добавили 5 % раствор соли и получили 8 % раствор. Какое количество литров 5% раствора добавили?

А) 7 л. В) 15 л. С) 12 л. D) 10 л. Е) 8.

Решение: Составляем таблицу данных: . Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали: .

Значит, масса первого раствора соли относится к массе второго раствора соли как 3:2. Это значит, что, если добавили х л второго раствора соли, то . Для нахождения массы второго раствора соли решаем последнюю пропорцию и получаем . Значит, добавили 10 л второго раствора соли.

Решая эту задачу методом пропорций, получаем намного более сложное решение.

Найдем массу соли в первом растворе, для чего составляем пропорцию: . Откуда . Пусть к этому раствору добавили у л 5 % раствора соли. Найдем количество соли в нем, решая пропорцию: . Количество соли в новом растворе меняется и теперь составляет (0,05у+1,5) л. Получаем новую пропорцию: . Решая эту пропорцию, приходим к уравнению: . Значит, добавили 10 л второго раствора соли.

Ответ: 10л.

4. Чтобы получить 50% - ный раствор кислоты, надо к 30 г. 15 % раствора кислоты добавить 75% - ный раствор этой же кислоты. Найти количество 75% - ного раствора, которое надо добавить.

A) 150г.

B) 6 г.

C) 9 г.

D) 42 г.

E) 3.

Решение: Составляем таблицу данных: .

Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали: .

Значит, масса первого раствора кислоты относится к массе второго раствора кислоты как 25:35= 5:7. Это значит, что, если добавили х л второго раствора кислоты к 30 л первого раствора, то . Для нахождения массы второго раствора соли решаем последнюю пропорцию и получаем .

Значит, добавили 42 г второго раствора кислоты.

Приведем решение этой задачи, используя метод пропорций.

Найдем массу кислоты в первом растворе, для чего составляем пропорцию: . Откуда . Пусть к этому раствору добавили у л 75 % раствора кислоты. Найдем количество кислоты в нем, решая пропорцию: . Количество кислоты в новом растворе меняется и теперь составляет (0,75у+4,5) г. Меняется и масса всего нового раствора, она равна(30+у)г.

Получаем новую пропорцию: . Решая эту пропорцию, приходим к уравнению: . Значит, добавили 42 г второго раствора кислоты.

Ответ: 42 г.

5. Кусок сплава меди и цинка массой в 36 кг содержит 45 % меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску. Чтобы полученный сплав содержал 60 % меди?

A) 15,5 кг.

B) 13 кг.

C) 18,2 кг.

D) 16,2 кг.

E) 13,5 кг.

Решение: Составляем таблицу данных: . Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали: . Значит, масса сплава цинка и меди относится к массе меди как 40:15= 8:3. Это значит, что, если добавили х кг меди к 36 кг сплава, то . Для нахождения массы меди решаем последнюю пропорцию и получаем . Значит, добавили 13,5 кг меди.

Ответ: 13,5 кг меди.

6. Сколько кг воды надо выпарить из 100 кг массы, содержащей 90 % воды, чтобы получить массу, содержащую 80 % воды?

Решение: Составляем таблицу данных: .

Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали:

Значит, масса данной массы относится к массе воды как 20:10=2:1. Это значит, что, если из 100 кг массы выпарить х кг воды, то 100: х = 2: 1. Откуда находим количество выпариваемой воды: . Решим эту задачу по-другому.

Найдем количество воды в 100 кг массы: . Откуда

Пусть х кг выпарили из данной массы. Количество воды в новой массе меняется и теперь составляет (90-х) кг. Получаем новую пропорцию: .

Решая эту пропорцию, приходим к уравнению:

Значит, 50 кг воды надо выпарить из данной массы, чтобы получить массу, содержащую 80% воды.

1. Смешали грузинский и индийский чай. Индийский чай составил 30 % всей смеси. Если в эту смесь добавить еще 120 г. индийского чая, то он будет составлять 45 % смеси. Масса индийского чая в первоначальной смеси составляла?

Решение: Составляем таблицу данных:

Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали: .

Значит, масса чайной смеси относится к массе индийского чая как 55:15=11:3. Добавили 120 г индийского чая. Для нахождения массы чайной смеси составляем пропорцию: . Откуда находим количество первоначальной чайной смеси . Используем формулу массовой доли вещества , зная, что : .

Решим эту задачу по-другому.

Пусть масса индийского чая в первоначальной смеси х г. Сначала находим массу всей смеси, для чего составляем пропорцию: .

Откуда . По условию задачи к этой смеси добавили 120 г индийского чая. Количество индийского чая в новой смеси меняется и теперь составляет (х+120) г. Получаем новую пропорцию: . Решая эту пропорцию, приходим к уравнению: .

Значит, 132 г индийского чая было в первоначальной смеси.

Ответ: 132 г.

8. Имеется 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85 % воды. Сколько килограммов воды надо выпарить, чтобы оставшаяся масса содержала 25 % целлюлозы?

Решение: За чистое вещество примем целлюлозу. Целлюлозная масса содержит 85 % воды, а целлюлозы, значит, 15 %.

Составляем таблицу данных: .

Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали: . Значит, масса целлюлозной массы относится к массе воды как 25:15=5:2. Пусть х кг выпарили из данной массы. Для нахождения выпаренной воды составляем пропорцию: . Откуда .

Ответ: 200 кг.

9. Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2: 3, а другая – в отношении 3: 7. по сколько ведер нужно взять из каждой бочки. Чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3: 5?

Решение: Пусть из одной бочки взяли х ведер, тогда из другой (12-х) ведер.

Отношение спирта к воде в первой бочке 2: 3, а значит процентное содержание спирта в ней . Отношение спирта к воде во второй бочке 3: 7, а значит процентное содержание спирта в ней .

Отношение спирта к воде в новой смеси 3: 5, а значит процентное содержание спирта в ней .

Составляем таблицу данных: .

Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали: .

Значит, масса 1 смеси относится к массе 2 смеси как 7,5:2,5=3:1. Для нахождения количества каждой смеси составляем пропорцию: .

Откуда составим и решим уравнение: .

Значит, 9 ведер первой смеси, 3 ведра второй.

10. Имеется лом стали двух сортов содержанием никеля 5 % и 40 %. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля 30%.

Решение: Составляем таблицу данных: . Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали: .

Значит, масса 1 сорта стали относится к массе 2 сорта стали как 10: 25=2:5. Пусть х коэффициент пропорциональности. Составляем уравнение, зная, что всего надо получить 140 т новой стали: 2х +5х = 140. Откуда находим: .Значит, стали первого сорта надо взять 2∙20= 40 (т), а стали второго сорта 5∙20=100(т).

Ответ: 40 т, 100 т.

1. Морская вода содержит по весу 5 % соли. Сколько кг пресной воды нужно прибавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составляло 2 %?

Решение: Составляем таблицу данных: . Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали: .

Значит, масса морской воды относится к массе пресной воды как 2: 3. Составляем пропорцию: . Откуда находим количество пресной воды: .

Значит, добавили 120 кг пресной воды.

Решение задач III типа:

Этот блок составлен из самых сложных практически значимых задач, для решения задач данного типа необходимо использовать формулу для вычисления сложных процентов, которая не рассматривается в школьном курсе алгебры.

С = х (1+а%)ⁿ, где С – новая цена

х – первоначальная цена

а - ежемесячная процентная ставка

n – срок вклада (количество месяцев)

Вывод формулы сложных процентов:

Составим таблицу исходных данных, используя основные составляющие формулы и согласно типу задачи.

х – первоначальная цена,

а - ежемесячная процентная ставка

n – срок вклада (количество месяцев)

В первой колонке будем указывать количество месяцев накопления процентов, во второй колонке будем записывать первоначальную цену на начало каждого месяца, в третьей – выражение, которое характеризует заданный процент повышения цены, относительно того, что было, а в четвертой – новая цена на конец текущего месяца, суммарная составляющая второй и третьей колонок.

Количество месяцев	БЫЛО	ИЗМЕНИЛОСЬ	СТАЛО
1 месяц	х		х + = х (1 + )
2 месяц	х (1 + )	х∙ ∙ (1 + )	х (1 + ) + х∙ ∙ (1 + ) = =х (1 + )(1 + ) = =х∙ (1 + )2
3 месяц	х∙ (1 + )2	х∙ ∙ (1 + )2	х∙ (1 + )2 + х∙ ∙ (1 + )2 = =х(1 + )2(1 + ) = = х∙ (1 + )3
И т.д.	…	…	…
n месяц	х∙ (1 + )n-1	х∙ ∙ (1 + )n-1	х∙ (1 + )n-1 + х (1+ )n-1 = =х(1+ )n-1(1+ )= = х∙ (1 + ) n

Итак, получили формулу, для решения задач III типа.

При решении данных задач первоначально следует разобраться в сложном запутанном условии задачи. Отвечая последовательно на вопросы, задача становится более понятной и доступной для решения.

Вопросы:

1. Сколько объектов (фирм, магазинов…) описывается в условии задачи;

2. а) Определить процент повышения (понижения) цен на первом объекте;

б) Сколько месяцев подряд происходило повышение (понижение) цен на первом объекте;

3. а) Определить процент повышения (понижения) цен на втором объекте;

б) Сколько месяцев подряд происходило повышение (понижение) цен на втором объекте;

4. Какое условие задачи является связующим звеном п.2 и п.3;

5. Применить формулу сложных процентов для нахождения цен на обоих объектах.

Составленная блок-схема значительно поможет ответить на вопросы и разобраться в условии.

Задача 1: Для определения оптимального режима повышения цен социологи предложили с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2 %, в другом – через каждые 2 месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и тоже число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова остались одинаковы. Насколько процентов нужно повышать цену товара во втором магазине?

Решение: Составим блок-схему.

1 магазин июль а% 2 магазин

июнь

n = 6 май а% n=3

а = 2% 2% апрель а = а%

ежемесячно март а%

февраль

С₁ = 100(1+2%)⁶- новая цена в 1 магазине;

С₂ = 100(1+а%)³ – новая цена во 2 магазине.

По условию задачи С₁ = С₂

Составим и решим уравнение:

100(1+2%)⁶ = 100(1+а%)³: 100

(1 + 0,02)⁶ = (1 + )³ понизим степень уравнения,

((1 + 0,02)²)³ = (1 + )³

(1 + 0,02)² = 1 +

1 + 0,04 + 0,0004 = 1 + ·100

100 + 4+ 0,04 = 100 + а

а = 4,04% нужно повышать цену товара во втором магазине.

Ответ: 4,04%.

Задача №2. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и тоже число процентов, а затем трижды уменьшали на одно и тоже самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?

Решение.

По формуле Аn=A₀(1+P/100)ⁿ

A₀=51, 2

N=3

P- неизвестно

51,2(1+P/100)³ - такое число стало после трёхкратного увеличения, т. е. это А3

затем это число А3 уменьшали трёхкратно на Р% и получили

51,2(1+Р/100)³ ∙ (1-P/100)³ – по условию это выражение равно21,6

51,2(1+Р/100)³ ∙ (1-Р/100)³ =21,6 это уравнение относительно Р

((1+Р/100)(1-Р/1000))³=27/64;

(1-(Р/100)²)³=(3/4)³;

1-(Р/100)²=3/4;

(P/100)²=1-3/4;

(P/100)²=1/4;

P/100=1/2;

P=50

Значит, число процентов равно 50.

Ответ: 50%.

Задача №3 Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену снизили ещё на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение ещё на 10%. Какова новая цена товара, если первоначальная цена 2500р.

Решение:

1.По формуле «сложных процентов»

А3=Ао∙(1-Р1/100)∙(1-P2/100)∙(1-P3/100)

А3=А0∙ (1-20/100) ∙ (1-15/100) ∙ (1-10/100)

A3=A0∙4/5∙17/20∙9/10

A3=2500∙4∙17∙9/1000

A3= 612∙2, 5

A3= 1530

1530р. – новая цена, т. е. цена снизилась на 970р.

Ответ: 1530 р.

2.Решим эту же задачу обычным способом (по определению процента)

1)2500 ∙ 0,2=500(руб.) – на столько снизили цену в 1-й раз

2)2500-500=2000 (руб.) – новая цена после 1-го снижения её на 20%.

3)2000 ∙ 0,15= 300 (руб.) на столько снизилась цена во 2-ой раз.

4) 2000-300=1700(руб.) – новая цена после её снижения на 15%.

5) 1700 ∙ 0.1=170 (руб.) на столько снизилась в 3-й раз

6)1700-170=1530 (руб.) – новая цена после её снижения на 10 %

Ответ: 1530 руб.

Задача №4. В 1-ый день продали 40% всех яблок, во 2-й день – 20% остатка, а в 3-й день – 50% оставшихся яблок. Сколько всего продали кг яблок, если первоначально их было 1200кг.

Решение:

1. По формуле «сложных процентов»

Аn=A₀∙ (1-40/100) ∙ (1-20/100) ∙ (1-50/100)

An=1200∙6/10∙8/10∙1/2

An=1200∙24/100=12∙24=288(кг)

Ответ: 288кг

2. По определению процента.

1) 1200 ∙ 0.4=480(кг) яблок продали в 1-й день.

2)1200-480=720(кг) яблок осталось в 1-й день.

3)720∙0.2=144(кг) яблок продали во 2-ой день.

4 )720-144=576(кг) осталось во 2-ой день

5) 576∙0.5=288(кг) – осталось в 3-й день.

Ответ: 288 кг

Задача №5. Рыночная цена картофеля в связи с переменной погодой понизилась на 25%, затем повысилась на 20%, потом вновь понизилась на 10%, а весной повысилась на 20%.Выросла ли цена по сравнению с первоначальной, или понизилась и на сколько?

Решение:

Пусть Ао - первоначальная цена, а Аn – полученная цена, решаем по формуле сложных процентов

Аn=Aо∙ (1-25/100) ∙ (1+20/100) ∙ (1-10/100) ∙ (1+20/100)

An=Aо∙ (1-1/4) ∙ (1+1/5) ∙ (9/10) ∙11/5

An=Aо∙3/4∙6/5∙9/10∙6/5

An=Aо∙972/1000

Т.к. 972/1000<1,то An<Aо,

Т.е. новая цена стала меньше

Найдем разницу в процентах (Aо-An)/Aо∙100%= (Aо-972/1000∙Aо)/Aо∙100%=

=(1-972/1000)*100%= 100% - 97,2%=2,8%

Цена стала меньше на 2,8%

Ответ: на 2,8%

Задача №6. Булочка стоила 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит булочка?

Решение: Так как повысили на 10%, значит нужно умножить первоначальную цену на 1,1 и при понижении на 10% нужно умножить на 0,9, то есть 1,1∙0,9=0,99; 100∙0,99=99 (руб.)

или 100∙(1+0,1) ∙(1-0,1)=100∙(1-0,01)=100∙0,99=99 (руб.).

Ответ: 99 рублей стоит булочка.

Задача №7. В скорость тела, движущегося равноускоренно, каждую секунду увеличивается на 10%. В данный момент его скорость 10 м/с. Какова будет его скорость через три секунды?

Решение:

(м/с)

Ответ: через три секунды скорость будет 13,31 м/с.

Задача №8. Цену на автомобиль «Волга» снизили сначала на 20%, а затем еще на 15%. При этом он стал стоить 238000 рублей. Какова была первоначальная цена автомобиля?

Решение: Пусть х рублей будет первоначальная стоимость автомобиля.

х ∙(1-0,2) ∙(1-0,15)=238000

х ∙0,8∙0,85=238000

х ∙0,68=238000

х = 238000:0,68

х =350000

Ответ: 350000 рублей первоначальная стоимость автомобиля.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: