ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Задача № 1. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, его общий интеграл имеет вид . Уравнение , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от называется уравнением с разделяющимися переменными. Путем деления на произведение оно приводится к уравнению с разделенными переменными: . Общий интеграл этого уравнения имеет вид . Замечание. Деление на может привести к потере частных решений, обращающих в ноль произведение . Дифференциальное уравнение , где - постоянные, заменой переменных преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Пример 1. Решить уравнение Решение. Разделим обе части уравнения на произведение . Получим уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, найдем . После потенцирования получим или . Откуда . Обозначая , будем иметь или . Получили общий интеграл этого уравнения. Функции , и - являются частными решениями. Ответ: - общий интеграл. Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Решение. Имеем или . Разделяем переменные, для этого обе части уравнения делим на произведение . Интегрируя, найдем общий интеграл в качестве производной константы взяли . После потенцирования, получим или - общее решение исходного уравнения. Найдем константу , используя начальное условие , или отсюда . Искомое частное решение или решение задачи Коши . Ответ: . Упражнения. Решить уравнения 1. . Ответ: . 2. . Ответ: . 3. . Ответ: . 4. . Ответ: или . ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ: Решить уравнения с разделяющимися переменными:
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|