Задача 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид
(1)
где - заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).
Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменным и имеет общее решение
.
Общее решение неоднородного уравнения можно найти следующими способами:
1) методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что
решение уравнения (1) находится в виде
, где - новая неизвестная функция.
2) уравнение (1) может быть проинтегрирован с помощью подстановки , где - неизвестные функции от .
3) решение уравнения (1) можно найти еще и по формуле
.
Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно как функции от . Нормальный вид (коэффициент при равен 1) такого уравнения
( )
Пример 4.
Решить уравнение .
Решение. Вид уравнения нормальный
.

Ответ: .
Упражнения. Решить уравнения
1. . Ответ: .
2. .
Приводим к виду , и решаем по формуле . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. . Ответ: .
Уравнение линейное относительно функции . Приводим его к виду
или .
ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:
Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|