Задача 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

(1)

где - заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменным и имеет общее решение

.

Общее решение неоднородного уравнения можно найти следующими способами:

1) методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что

решение уравнения (1) находится в виде

, где - новая неизвестная функция.

2) уравнение (1) может быть проинтегрирован с помощью подстановки , где - неизвестные функции от .

3) решение уравнения (1) можно найти еще и по формуле

.

Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно как функции от . Нормальный вид (коэффициент при равен 1) такого уравнения

()

Пример 4.

Решить уравнение .

Решение. Вид уравнения нормальный

.

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. .

Приводим к виду , и решаем по формуле . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

Уравнение линейное относительно функции . Приводим его к виду

или .

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: