Задача 5. Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции , т.е.

.

Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области изменения переменных выполнялось условие

(2)

В этом случае общий интеграл имеет вид или

.

Пример 6.

Решить уравнение .

Решение. Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах

.

Получили, что , условие (2) выполнено, значит данное уравнение в полных дифференциалах.

Найдем функцию . Для этого имеем систему:

Из первого уравнения, интегрированием по при постоянном , определяем :

,

где - произвольная функция (вместо постоянной интегрирования С берем функцию )

Частная производная , найденной функции должна равняться в силу второго уравнения системы, , что дает

,

.

Отсюда ,

- общий интеграл.

Ответ: , где .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

,

уравнение в полных дифференциалах.

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Проинтегрировать уравнения в полных дифференциалах:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: