Операции над множествами

Рассмотрим основные операции над множествами.

Объединением множеств А и В называется множество А È В, все элементы которого являются элементами хотя бы одного из множеств А или В:

А È В = { x ç x Î А или x Î В }.

Из определения следует, что А Í А È В и В Í А È В.

Аналогично определяется объединение нескольких множеств

Пример 1.8.

а) Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}.

Тогда А È В = {2, 4, 5, 6}.

б) Пусть А – множество чисел, которые делятся на 2, а В – множество чисел, которые делятся на 3:

А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}.

Тогда А È В множество чисел, которые делятся на 2 или на 3:

А È В = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, …}.

Пересечением множеств А и В называется множество А Ç В, все элементы которого являются элементами обоих множеств А и В:

А Ç В = { x ç x Î А и x Î В }.

Из определения следует, что А Ç В Í А, А Ç В Í В и А Ç В Í А È В.

Аналогично определяется пересечение нескольких множеств.

Пример 1.9.

Рассмотрим данные из примера 1.8.

а) Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}.

Тогда А Ç В = {4, 6}.

б) Пусть А – множество чисел, которые делятся на 2, а В – множество чисел, которые делятся на 3:

А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}.

Тогда А Ç В множество чисел, которые делятся и на 2 и на 3:

А È В = {6, 12, 18, …}.

Может оказаться, что множества не имеют ни одного общего элемента. Тогда говорят, что множества не пересекаются или что их пересечение – пустое множество.

Пример 1.10.

Пусть А = {1, 2}, В = {2, 3}, C = {3, 4}.

Тогда А Ç В Ç C =Æ.

Относительным дополнением множества В до множества А называется множество А \ В, все элементы которого являются элементами множества А, но не являются элементами множества В:

А \ В = { x ç x Î А и x Ï В }.

Пример 1.11.

Рассмотрим данные из примера 1.8.

а) А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}.

А \ В = {4, 5}, В \ А = {2}.

б) А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}.

Тогда А \ В – множество чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, а В \ А – множество чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2:

А \ В = {2, 4, 8, 10, 14, …}.

В \ А = {3, 9, 15, 21, 27, …}.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество А + В:

А + В = (А \ В) È (В \ А).

Пример 1.12.

Рассмотрим данные из примера 1.11.

а) А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}.

А \ В = {4, 5}, В \ А = {2}, А + В = {2, 4, 5}.

б) А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}, А \ В = {2, 4, 8, 10, 14, …}.

В \ А = {3, 9, 15, 21, 27, …}, А + В = {2, 3, 4, 8, 9, …}.

Универсальным множеством называется такое множество U, что все рассматриваемые в данной задаче множества являются его подмножествами.

Абсолютным дополнением множества А называется множество всех таких элементов x Î U, которые не принадлежат множеству А: = U \ A.

Пример 1.13.

Пусть А – множество положительных четных чисел.

Тогда U – множество всех натуральных чисел и - множество положительных нечетных чисел.

Счетные множества

Определение 1.3. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N = {1, 2, 3, …, n,…}, называется счетным.

Можно сказать также, что множество счетно, если его элементы можно перенумеровать.

Пример 1.20.

Следующие множества являются счетными.:

1. A ₁ = {–1, –2, …, – n, …};

2. A ₂ = {2, 2², …, 2 ⁿ,…};

3. A ₃ = {2, 4, …, 2 n,…};

4. A ₄ = {…, – n, …, – 1, 0, 1, …, n,…};

Чтобы установить счетность некоторого множества, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между элементами данного множества и множества натуральных чисел. Для примера 1.19 взаимно однозначное соответствие устанавливается по следующим правилам: для множества A ₁: – n «n; для множества A ₂: 2 ⁿ «n; для множества A ₃: 2 n «n; счетность множества A ₄ установлена в примере 1.19;

Установить счетность множеств можно также, используя следующие теоремы о счетных множествах (приводятся без доказательств).

Теорема 1. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Пример 1.21.

Множество A = {3, 6, …, 3 n,…} счетно, т.к. A – бесконечное подмножество множества натуральных чисел, A Ì N.

Теорема 2. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств счетно.

Пример 1.22.

Множество A = {0, 1, …, n,…} неотрицательных целых чисел счетно, множество B = {0, –1, …, – n,…} неположительных целых чисел тоже счетно, поэтому множество всех целых чисел С = А È B = {…, – n, …– 2, –1, 0, 1, 2, …, n, …} тоже счетно.

Теорема 3. Множество всех рациональных чисел, т.е. чисел вида , где p и q целые числа, счетно.

Теорема 4. Если А = { a ₁, a ₂, …} и B = { b ₁, b ₂, …} – счетные множества, то множество всех пар С = {(a_k, b_n), k = 1, 2,…; n = 1, 2, …} счетно.

Пример 1.23.

Геометрический смысл пары (a_k, b_n) – точка на плоскости с рациональными координатами (a_k, b_n). Поэтому можно утверждать, что множество всех точек плоскости с рациональными координатами счетно.

Теорема 5. Множество всех многочленов P (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x² + … + a_nxⁿ любых степеней с рациональными коэффициентами a ₀, a ₁, a ₂, … a_n счетно.

Теорема 6. Множество всех корней многочленов любых степеней с рациональными коэффициентами счетно.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: