Свойства оператора рождения и уничтожения.

Мы введем оператор

Это вид в координатном

представлении.

Действие на :

(1*)

в силу этого отношения, - оператор уничтожения.

Мы ввели понятие числа частиц n, c квантом w , которые характеризуют состояние осциллятора . Это состояние мы интерпретируем как n частиц с квантом pw.

, тогда матричный элемент оператора уничтожения: это различные модификации матричного элемента , т.к. n=n₁-1 это тоже самое, что и n+1=n₁.

Наряду с этим, мы введем сопряженный оператор:

его вид в координатном представлении

Действие этого оператора на волновую функцию :

(2*)

И матричный элемент этого оператора имеет вид:

Это разные модификации

этого матричного элемента.

Очевидно, что можно получить из :

, т.к. - сопряженный к .

В силу вещественности имеем:

Рассмотрим коммутационные соотношения операторов и :

эта часть есть оператор ; т.е. ,

где - единичный оператор.

Рассмотрим , он равен

Найдем коммутатор: получим единичный оператор.

Выразим оператор через рождения и уничтожения:

симметризуя, получаем: , чаще используют

Найдем собственные значения для и , найдем их в матричной форме.

, тогда

Аналогично: - посмотрим на этот матричный элемент. n – это число частиц с квантом w . Поэтому оператор - это оператор числа частиц: . Тогда

Посмотрим на соотношение (1*).

Подействуем: - т.е. состояние соответствует нулю частиц, это состояние вакуума или основное состояние.

Подействуем (2*):

Подействуем на : и т.д.: этим

соотношением устанавливается связь между и , тогда имеем

Достаточно найти , и тогда сможем найти все остальные функции .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: