Операторы рождения и уничтожения частиц.

a) Действие операторов и на .

Запишем в качестве операторов операторы и .

Напомним: (*)

Чтобы использовать соотношение (*) надо знать матричные элементы для операторов и :

мы их получили раньше.

Транспонируя, получаем:

Используя, что , тогда , тогда

Используя соотношение , тогда получим результаты действия на

Чем отличается вектор от , они отличаются только одним числом заполнения в

состоянии a, а остальные состояния заполнены одинаково. В одночастичном состоянии с

номером “а” в результате действия оператора появилась еще одна частица. Тогда

-оператор рождения частицы в одночастичном a-том состоянии.

Посмотрим - получили новое состояние.

Из вектора чисел заполнения в результате действия оператора переходим в

состояние с вектором чисел заполненные . В состоянии b число заполнения

лишается единицы, т. е. в b-том состоянии уничтожается 1 частица. - оператор

уничтожения частицы в b-том одночастичном состоянии.

b) Связь между и операторами и .

Мы имели матричный элемент одночастичного оператора:

Это матричный элемент произведения двух операторов: ,

Тогда оператор запишем:

(3)

Напомним, что - одночастичный оператор:

матричный элемент

и - одночастичные функции

- это сумма , а - это матричный элемент одного из слагаемых этой суммы

Поэтому запись (3 стр 28а) – удобна.

с) Свойства операторов рождения и уничтожения: и .

Можно рассмотреть следующие (дополнительные) свойства помимо тех свойств, что указаны в (а).

Д/з №9. Используя матричные элементы для операторов рождения и уничтожения получить результат коммутации операторов: (4)

Распишем коммутатор:

Подействуем коммутатором на , тогда получим результат (4).

- здесь всего n частиц, но произошёл переход частицы из состояния a в состояние b.

Посмотрим: .

Тогда результат действия операторов и дают одинаковый результат.

Тогда при имеем .

Посмотрим случай :

Аналогично проделываем для

Тогда .

Тогда выполняется: , или можно записать .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: