Тема 6. Аналітична геометрія в просторі

Варіант 1

1. Дано дві прямі: одна з них проходить через точки А(-3; 5; 15) і В(0; 0; 7), а друга – через точки С(2; -1; 4) і D(4; -3; 0). Дізнатися, чи перетинаються ці прямі, і якщо перетинаються, то знайти точку перетину.

В к а з і в к а. Нехай - відношення у якому поділяється АВ спільною точкою, а - теж для СD. Тоді координати точки перетину визначаються двома способами, прирівнюючи їх, отримаємо: . Звідси знаходимо і .

2. Три грані тетраедра, розміщеного у другому октанті, збігаються з координатними площинами. Написати рівняння четвертої грані, знаючи довжину ребер, що її обмежують: .

3. Обчислити віддаль між прямими: і .

Варіант 2

1. Визначити віддаль точки А(12; -3; 4) від початку координат і від осей координат.

2. Знайти точку, симетричну з точкою (4; 3; 10) відносно прямої .

3. Знайти кут між двома прямими і

Варіант 3

1. У третьому октанті знайти точку, знаючи її віддаль від трьох осей координат: .

2. Знайти відстань від точки (7; 9; 7) до прямої .

3. Знайти рівняння площини, яка проходить через паралельні прямі

, .

Варіант 4

1. На осі OZ знайти точку, рівновіддалену від точок А(-4; 1; 7) і В(3; 5; -2).

2. Через пряму провести площину, паралельну площині .

3. Звести рівняння прямої до канонічного виду.

Варіант 5

1. На координатній площині (YOZ) знайти точку, однаково віддалену від трьох заданих точок: А(3; 1; 2), В(4; -2; -2), С(0; 5; 1).

2. Знайти точку перетину прямої з площиною .

3. Написати рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі:

і .

Варіант 6

1. Рухома точка, яка мала початкове положення М₀(5; -1; 2), переміщається паралельно до осі ОУ. Знайти точку її зустрічі з площиною .

2. Знайти проекцію точки (4; -3; 1) на площину .

3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки перетину площини

з прямими і .

Варіант 7

1. Знайти відстань між площинами і ?

2. При якому значенні коефіцієнта А площина буде паралельна до прямої ?

3. Знайти рівняння площини, яка проходить через точки , , .

Варіант 8

1. Кульова поверхня проходить через початок координат і через точки:

А(4; 0; 0), В(1; 3; 0) і С(0; 0; -4). Знайти центр і радіус кулі.

2. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку (1; -5; 3) і утворює з осями координат відповідно кути: 60⁰, 45⁰, 120⁰.

3. Знайти косинус кута між площинами і .

Варіант 9

1. Через вісь OZ провести площину, яка утворює з площиною кут 60⁰.

2. Визначити кут між двома прямими і

3. Задано три послідовні вершини паралелограма , , . Знайти рівняння сторін і .

Варіант 10

1. Скласти рівняння площини, яка проходить від початку координат на віддалі 6 одиниць і відтинає на осях координат відрізки пов’язані співвідношенням: .

2. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки перетину площини з прямими і .

3. Піраміда утворена перетином координатних площин, площиною . Знайти її об’єм.

Варіант 11

1. Знайти площину, знаючи, що точка Р(3; -6; 2) служить основою перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

2. Написати рівняння перпендикуляра, опущеного з точки (2; 3; 1) на пряму .

3. Знайти рівняння площини, яка проходить через пряму і перпендикулярна до площини .

Варіант 12

1. Дано дві точки А(1; 3; -2) і В(7; -4; 4). Через точку В провести площину, перпендикулярну до відрізка АВ.

2. З точки (3; -2; 4) опустити перпендикуляр на площину .

3. Вказати особливості розміщення площин відносно осей координат:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Варіант 13

1. Перевірити, що чотирикутник з вершинами А(5; 2; 6), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) і D(3; 1; 4), є квадрат.

2. Три грані тетраедра, розміщеного у другому октанті, збігаються з координатними площинами. Написати рівняння четвертої грані, знаючи довжину ребер, що її обмежують: .

3. Обчислити віддаль між прямими: і .

Варіант 14

1. На осях координат відкладені від початку координат відрізки, відповідно рівні 1, 2 і 3; кінці цих відрізків з’єднані прямими. Визначити площу отриманого таким чином трикутника.

2. Знайти точку, симетричну з точкою (4; 3; 10) відносно прямої .

3. Знайти кут між двома прямими і

Варіант 15

1. Дано вершини трикутника А(-4; -1; 2) і В(3; 5; -6). Знайти третю вершину С, знаючи, що середина сторони АС лежить на осі ОУ, а середина сторони ВС – на площині XOZ.

2. Знайти відстань від точки (7; 9; 7) до прямої .

3. Знайти рівняння площини, яка проходить через паралельні прямі

, .

Варіант 16

1. Знайти відношення, в якому кожна з площин координат поділяє віддаль між точками А(2; -1; 7) і В(4; 5; -2).

2. Через пряму провести площину, паралельну площині .

3. Звести рівняння прямої до канонічного виду.

Варіант 17

1. Перевірити, що три точки А(1; -5; 3), В(5; -1; 7) і С(6; 0; 8) лежать на одній прямій.

2. Знайти точку перетину прямої з площиною .

3. Написати рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі:

і .

Варіант 18

1. Написати рівняння площини яка паралельна до площини(XOZ) і проходить через точку (2; -5; 3.

2. Знайти проекцію точки (4; -3; 1) на площину .

3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки перетину площини

з прямими і .

Варіант 19

1. Написати рівняння площини яка проходить через вісь OZ і через точку (-3; 1; -2).

2. При якому значенні коефіцієнта А площина буде паралельна до прямої ?

3. Знайти рівняння площини, яка проходить через точки , , .

Варіант 20

1. Написати рівняння площини яка паралельна до осі ОХ і проходить через дві точки

А(4; 0; -2) і В(5; 1; 7).

2. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку (1; -5; 3) і утворює з осями координат відповідно кути: 60⁰, 45⁰, 120⁰.

3. Знайти косинус кута між площинами і .

Варіант 21

1. Через точку Р(4; -5; 1) провести площину, яка б відтинала на осях додатні і рівні між собою відрізки.

2. Визначити кут між двома прямими і

3. Задано три послідовні вершини паралелограма , , . Знайти рівняння сторін і .

Варіант 22

1. Обчислити віддаль площини від початку координат.

2. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки перетину площини з прямими і .

3. Піраміда утворена перетином координатних площин, площиною . Знайти її об’єм.

Варіант 23

1. Знайти кут між площиною і площиною YOZ.

2. Написати рівняння перпендикуляра, опущеного з точки (-2; 3; 1) на пряму .

3. Знайти рівняння площини, яка проходить через пряму і перпендикулярна до площини .

Варіант 24

1. Знайти точку симетричну з початком координат відносно площини .

2. З точки (-1; -2; 4) опустити перпендикуляр на площину .

3. Вказати особливості розміщення площин відносно осей координат:

а) ;б) ; в) ; г) ; д) .

Варіант 25

1. Звести до нормального виду рівняння площини .

2. Обчислити кут між площинами і .

3. Обчислити віддаль між прямими: і .

Варіант 26

1.Обчислити кут між площинами і .

2. Знайти точку перетину прямої з площиною .

3. Знайти кут між двома прямими і

Самостійна робота

Варіант 27

1. Визначити напрямні косинуси прямої, перпендикулярної до площини .

2. Знайти відстань від точки (1; 3; 7) до прямої .

3. У площині XOZ знайти пряму, яка проходить через початок координат і перпендикулярна до прямої .

Варіант 28

1. Через точку М(-5; 6; 3) проведено дві площини: одна із них проходить через вісь ОХ, друга – через вісь ОУ. Знайти кут між цими площинами.

2. Знайти точку перетину трьох площин і .

3. Звести рівняння прямої до канонічного виду.

Варіант 29

1. Перевірити, чи лежать на одній прямі три точки: (2; 0; -1), (0; 2; 4), (1; 4/3;3).

2. У пучку знайти площину, яка відтинає рівні відрізки на осях ОХ та ОУ.

3. Написати рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі:

і .

Варіант 30

1. Через лінію перетину площин і провести площину, яка утворює кут 45⁰ з площиною .

2. Записати у канонічному вигляді рівняння прямої

3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки перетину площини

з прямими і .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: