Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

Ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых строк.

Итак, метод Гаусса (или, иначе, метод последовательного исключения неизвестных) состоит в следующем:

1.
Путем элементарных преобразований систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с верхне-треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом.

Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

3.
При этом все преобразования проводятся над так называемой расширенной матрицей системы, которую и приводят к верхнее - треугольному виду в прямом ходе метода.

система имеет бесчисленное множество решений, так как ранг матрицы меньше числа неизвестных.

что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:

1,2

Обратным ходом метода Гаусса найдем корни системы. Из последнего уравнения найдем корень х3: -5/2x3 = 3/2, x3 = (3/2):(-5/2) = 3/2*(-2/5) = -3/5. Корень x3 = -3/5 найден. Подставим его в верхнее (второе) уравнение системы (-2x2-3x3 = 1): -2x2-3(-3/5) = 1, -2x2+9/5 = 1, -2x2 = 1-9/5, -2x2 = -4/5, x2 = (-4/5):(-2) = (-4/5)*(-1/2) = 2/5. Корень x2 = 2/5 найден. Подставим его и корень х3 в верхнее (первое) уравнение системы (x1-x2+x3 = 0):

x1-2/5+(-3/5) = 0, x1-5/5 = 0, x1 = 5/5 = 1. Проверка: т. е. т. е. и т. д.

1,3

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

1,4

При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:

Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: