Четырехмерный потенциал поля

Рассмотрим частицу, движущаяся в электромагнитном поле. Функция действия для этой частицы складывается из двух частей: из действия (2.1) свободной частицы и из члена, описывающего взаимодействие частицы с полем. Последний должен содержать величины, характеризующие частицу, и величины, характеризующие поле.

Опыт показывает, что свойства частицы в отношении ее взаимодействия с электромагнитным полем определяют всего одним параметром – так называемом зарядом частицы , причем либо >0, либо <0, либо =0. Свойства поля характеризуется 4-вектором A:, так называемым 4-потенциалом, компоненты которого являются функциями координат и времени. Это также подтверждаются опытом. Эти величины входят в действие в виде члена

где функции берутся в точках мировой линии частицы. Множитель введен здесь для удобства.

Итак,

(3.1)

Три пространственные компоненты 4-вектора образуют трехмерный потенциал , называемый векторным потенциалом поля. Временная компонента 4-вектора мнима, т.е. имеет вид . Действительная величина называется скалярным потенциалом поля. Таким образом

(3.2)

(3.1) можно переписать в виде

или переходя к интегрированию по времени

(3.3)

где скорость частицы

Функция Лагранжа в соответствии с (3.3)

(3.4)

Это выражение отличается от функции Лагранжа для свободной частицы членами , которые описывают взаимодействие заряда с полем.

Производная называется обобщенным импульсом частицы. Обозначим его непосредственно

(3.5)

Здесь - обычный импульс частицы, который мы и будем называть простым импульсом.

Функция Гамильтона частицы

Имеет в нашем случае

(3.6)

Однако это не окончательно выражение, т.к. H должна быть выражена через импульс частицы а не через скорость.

Из (3.5) и (3.6) следует, что соотношения между и такое же, как и между и при отсутствии поля, т.е.

(3.7)

или иначе

(3.8)

Для малых скоростей, т.е. в классической механике, функция Лагранжа (3.4) переходит в

(3.9)

В этом приближении

и мы находим следующие приближение для функции Гамильтона

(3.10)

Уравнение Гамильтона Якоби, очевидно, имеет вид

(3.11)

Оно получится из (3.7) заменой

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: