Четырехмерные векторы и тензоры.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Если пользоваться в качестве координат события величинами , то мы можем рассматривать как компоненты вектора в 4-х пространстве. Сумма квадратов компонент этого вектора, т.е. квадрат «длины» , не меняется при поворотах 4-х мерной системы координат, которыми, в частности, являются преобразования Лоренца.

Вектор с компонентами называют 4-х мерным радиусом – вектором. Его компоненты будем обозначать через , где i = 1, 2, 3, 4, причем

В соответствии с (1.15) при преобразовании от одной и.с.о. к другой, компоненты 4-х радиус-вектора преобразуются по формулам

(1.25)

Четырех мерным вектором (4- вектором) называется совокупность четырех величин , которые при преобразовании 4-х мерной системы координат преобразовываются как компоненты . При преобразовании Лоренца.

(1.26)

Четырех мерные векторы обладают свойствами во многом аналогичными свойствам обычных векторов. Так, легко показать, что обычному скалярному произведению векторов сумма произведений компонент двух 4-х векторов является скаляром. Мы будем обозначать ниже такое скалярное произведение, как и вообще будем считать, что если один и тот же латинский индекс повторяется дважды, то подразумевается суммирование этого индекса. Компоненты 3-х мерных векторов мы будем обозначать греческими индексами; по дважды повторяющимися греческим индексам также будем подразумевать суммирование (например ) Первые три компоненты 4-х вектора будем называть пространственными, а четвертые – временной по аналогии с 4-радиусом – вектором. Временная компонента всех 4-х векторов, с которыми нам придется иметь дело,- мнимая.