Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Тензор электромагнитного поля.




Мы вывели уравнения движения заряда в поле, исходя из функции Лагранжа (3.4), написанной в трехмерном виде. Выведем теперь те же уравнения непосредственно из действия (3.1), написанного в четырехмерных обозначениях.

Принцип наименьшего действия гласит

 

 

Учитывая , находим

 

Первые два члена в подынтегральном выражении проинтегрируем по частям. Кроме того, напишем , где - компоненты 4-скорости.

 

 

Тогда

 

(3.23)

Учитывая

 

Получим

 

(3.23’)

 

Напишем в первом члене во втором и третьем . Кроме того в третьем члене произведем замену . Тогда

 

 

Ввиду произвольности , подынтегральное выражение равна нулю, так что

 

(3.24)

 

Введем обозначение

 

(3.25)

 

Тензор называется тензором электромагнитного поля. Уравнение движения (3.24) тогда принимают вид

 

(3.26)

 

Эти четыре уравнения и являются уравнениями движения заряда в электромагнитном поле в 4-форме. Из (3.25) следует

 

(3.27)

 

- антисимметричен. Учитывая и определение (3.25) находим

 

из (3.27)

 

Это можно написать в виде таблицы

 

(3.28)

 

Из (3.28) видно, что пространственные компоненты тензора образуют трехмерный антисимметричный тензор 2-го ранга; компоненты этого тензора связаны с магнитным полем. Вектор есть аксиальный вектор.

Компоненты электрического поля является временными компонентами . Векторы есть обычный, полярный вектор.

Переходя к трехмерным обозначениям легко обнаружить, что первые три уравнения тождественны с уравнением движения (3.16), а четвертое – с уравнением (3.18)

Получим уравнение Гамильтона-Якоби в 4-виде. Для этого рассматриваем действие S как функцию координат и в вариации только истинные траектории. Тогда первый член в (3.23) обратиться в нуль. Во втором члене верхний предел считается переменным и мы получим

 

(3.29)

 

Отсюда

 

(3.30)

 

4-вектор с составляющими есть 4-вектор обобщенного импульса частицы . Пользуясь выражениями для и , находим

 

(3.31)

 

Как и следовало, пространственные 4-ветора образуют трехмерный вектор обобщенного импульса (3.5), а временная есть где полная энергия заряда в поле.

Ввиду того, что , имеем

 

, (3.32)

 

соотношение, совпадающие с (3.7). Заменяя на , получим уравнение Гамильтона-Якоби в 4-форме

 

(3.33)

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных