От величины стоимости ОПФ

В таблице 9 видно, что по мере возрастания технической оснащенности предприятий растет объем продукции в среднем на одно предприятие (рис. 8), и ясно видна прямая зависимость показате­лей эффективности от величины стоимости основных фондов.

Эффективность работы промышленных предприятий зависит не только от размера ОПФ, но и от числа рабочих, использования оборудования и т. д. От­бирая разные факторные признаки и, уточняя систему показателей, можно дать разностороннюю характери­стику взаимосвязи отдельных факторов.

Рис. 8. Зависимость объема валовой продукции от размера ОПФ

Пример 2. На крупном хлебокомбинате в одном их цехов работают 500 рабочих. В порядке случайной бесповторной выборки обследовано 100 человек, которые по уровню выработки продукции распределяются следующим образом (таблица 10):

Таблица 10

На основании этих данных вычислить:

1. Среднюю дневную выработку одного рабочего.

2. Дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

3. Коэффициент вариации.

4. С вероятностью 0,997 возможные пределы среднего значения дневной выработки всех рабочих.

5. С вероятностью 0,954 возможные пределы доли рабочих с дневной выработкой 60 т и более.

6. Объем выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки при определении средней дневной выработки обследованных рабочих не превышала 2 т.

7. Объем выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка при определении доли рабочих с дневной выработкой 60 т. и более не превышала 6 %.

Решение

Для расчетов построим вспомогательную таблицу 11:

Таблица 11

Дневная выработка, т.
30 – 40				-12
40 – 50				-2
50 – 60
60 – 70
Итого

1. Средняя дневная выработка рабочего определяется по формуле 3:

м.

2. Дисперсия определяется по формуле 5:

Среднеквадратическое отклонение определяется по формуле 6:

3. Коэффициент вариации определяется по формуле 7:

4. Средняя дневная выработка одного рабочего с вероятностью 0,997 определяется по следующей методике:

Средняя ошибка для средней (см. табл. 1)

Предельная ошибка выборки для средней (см. табл.1), при Р = 0,997

Таким образом, границы генеральной средней (формула 10):

Следовательно, верхняя граница генеральной средней: 47 + 2,7 = 49,7 м.

Нижняя граница: 47 – 2,7 = 44,3 м.

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средняя дневная выработка одного рабочего колеблется в пределах:

44,3 < < 49,7

5. Доля рабочих (формула 9) с дневной выработкой 60 т и более с вероятностью 0,954 (t = 2)

Выборочная доля:

Средняя ошибка выборочной доли (см.табл.1):

Предельная ошибка для доли (см. табл.1):

Таким образом, граница генеральной доли совокупности (формула 11)

- верхняя граница

0,13 + 0,056 = 0,186 (или 18,6 %)

- нижняя граница

0,13 – 0,056 = 0,074 (или 7,4 %)

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля рабочих с дневной выработкой 60 т. и более колеблется от 7,4 % до 18,6 %.

6. Необходимая численность выборки при определении средней дневной выработки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 2 т. (см. табл.1)

= чел.

где

N = 500,

t = 2 при Р = 0,954

7. Объем выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка при определении доли рабочих с дневной выработкой 60 т. и более не превышала 6 % (см. табл. 1).

чел.

где

Пример 3

По данным аналитической группировки, полученной к задаче 1, измерить тесноту связи между результативным и факторным признаками, исчис­лив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Решение

Составим вспомогательную таблицу 12

Таблица 12

Группы предприятий по величине ОПФ, млн.р.	Число предприятий,	Валовая продукция, млн. р.	Валовая продук-ция на одно пред- приятие, млн.р.
1—2,2		5,6	1,87	-2,91	8,468	25,40
2,2—3,4		26,5	2,95	-1,83	3,349	30,14
3,4—4,6		23,0	4,60	-0,18	0,032	0,16
4,6—5,8		15,9	5,30	0,52	0,270	0,81
5,8 и выше		43,3	10,95	6,17	38,069	152,28
Итого		114,8	4,78			208,79

Средний выпуск продукции на одно предприятие в целом.

Общая средняя по формуле средней арифметической простой по формуле 55 будет равна:

млн.р.

Дисперсия, характеризующая вариацию выпуска продукции за счет изменения основных фондов, т. е. межгрупповая дисперсия, по формуле 14:

Общая дисперсия по индивидуальным данным (задача 1), используя формулу 17:

Для расчетов построим вспомогательную таблицу 13.

Таблица 13

Номер предприятия	у	у2	Номер предприятия		у2	Номер предприятия	у	У2
	3,2	10,24		2,5	6,25		3,6	12,96
	9,6	92,16		3,5	12,25		8,0	64,0
	1,5	2,25		2,3	5,29		2,5	6,25
	4,2	17,64		1,3	1,69		2,8	7,84
	6,4	40,96		1,4	1,96		1,6	2,56
	2,8	7,84		3,0	9,0		12,9	166,41
	9,4	88,36		2,5	6,25		5,6	31,36
	11,9	141,61		7,9	62,41		4,4	19,39
Итого							114,8	816,90

Коэффициент детерминации по формуле 12 равен:

Корреляционное отношение по формуле 13 равно:

= = 0,882

Вывод. Связь (табл.3) между размером ОФ и выпуском продукции высокая. Вариация выпуска продукции на 77,7% обусловлена ва­риацией стоимости ОФ.

Задача 4. По данным 24 предприятий (задача 1) построить корреляционную таблицу для исследования связи между размером ОПФ и производством валовой продукции. Найти уравнение регрессии. Изобразить эмпирические и теоретические данные на графике. Вычислить линейный коэффициент корреляции и корреляционное отношение. Сформулировать выводы.

Решение

Для всех последующих расчетов составим вспомогательную таблицу 14.

Таблица 14

1,0	1,6	1,0	1,6	-0,48	4,33
2,0	1,5	4,0	3,0	1,32	0,03
2,0	2,5	4,0	5,0	1,32	1,39
2,7	2,3	7,29	6,21	2,58	0,08
2,8	2,8	7,84	7,84	2,76	0,002
3,0	3,2	9,0	9,6	3,12	0,006
3,0	1,4	9,0	4,2	3,12	2,96
3,1	3,0	9,61	9,3	3,30	0,09
3,1	2,5	9,61	7,75	3,30	0,64
3,1	3,6	9,61	11,16	3,30	0,09
3,3	6,4	10,89	21,12	3,66	7,51
Продолжение табл. 14
3,3	1,3	10,89	4,29	3,66	5,57
3,5	7,9	12,25	27,65	4,02	15,05
3,5	2,5	12,25	8,75	4,02	2,31
3,9	4,2	15,21	16,38	4,74	0,29
4,0	2,8	16,0	11,2	4,92	4,62
4,5	5,6	20,25	25,2	5,82	0,05
4,7	3,5	22,09	16,45	6,18	7,18
4,9	4,4	24,01	21,56	6,56	4,66
5,6	8,0	31,36	44,8	7,8	0,04
6,5	9,4	42,25	61,1	9,42	0,0004
6,6	11,9	43,56	78,54	9,60	5,29
7,0	9,6	49,0	67,2	10,32	0,52
7,0	12,9	49,0	90,3	10,32	6,66
94,1	114,8	429,97	560,2	114,8	69,368

Уравнение регрессии определим по формуле 18, а его параметры по формуле 19.

Подставим значения и получим следующую систему уравнений:

61 а ₁ =110,1

а ₁ = 1,8

Уравнение линейной связи:

Таким образом, можно определить для всех значений х (см. табл. 14).

Проверка значений параметров уравнения осуществляется по формуле 1.22 (см. табл. 14).

Индекс корреляции определяется по формуле 37.

Составляющая формулы 37 определяется по формуле 39:

Полученное значение индекса корреляции свидетельствует о тесной связи между размером ОФ и выпуском валовой продукции.

Случайная ошибка коэффициента регрессии () определяется по формуле 34:

Коэффициент регрессии в примере равен 1,8. Он в 8,2 раза превышает случайную ошибку (1,8:0,22). Если фактическое превышение параметра своей случайной ошибки больше трех, то с большей вероятностью можно считать параметр не случайным, а значимым.

Коэффициент эластичности определяется по формуле 36.

В примере коэффициент эластичности на втором предприятии при х = 1 будет равняться:

Следовательно, на 1 % прироста стоимости ОФ на втором предприятии рост произведенной продукции составит 2,73 %.

Линейный коэффициент корреляции определяется по формуле 40. Его применение ограничено линейной формой связи.

По формуле 41 можно определить коэффициент регрессии, не исчисляя уравнения связи:

По данным таблицы 14 построим теоретическую и эмпирическую линии регрессии производства валовой продукции (рис. 9). Эмпирическая линия свидетельствует о том, что не всегда с увеличением стоимости ОФ на предприятии возрастает объем валовой продукции.

Рис. 9. Теоретическая и эмпирическая линии регрессии производства валовой продукции

Пример 5. На основе данных (табл. 15)

Таблица 15

1. Определить все аналитические показатели ряда динамики. Показать взаимосвязь цепных и базисных темпов роста.

2. Произвести сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней и исчислить абсолютные и относительные приросты сглаженных уровней. Изобразить графически фактические уровни ряда и звенья скользящей средней.

3. Произвести аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой. Изобразить графически фактические уровни и уровни, полученные при аналитическом выравнивании.

4. Найти методом экстраполяции ожи­даемый уровень анализируемого показателя на 2013 год при условии сохранения основной тен­денции:

а) на основе среднего абсолютного прироста;

б) на основе аналитического выравнивания уровне ряда;

в) на основе аналитического выравнивания цепных абсолютных приростов.

5. Определить относительное отклонение экстраполируемого уровня от фактического.

Решение

1. Аналитические показатели ряда динамики. Взаимосвязь цепных и базисных темпов роста.

Цепные и базисные абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, абсолютное значение 1% прироста определяются по формулам 40-48. Результаты вычислений заносятся в таблицу 16.

Таблица 16

Среднегодовой темп роста определяется по формуле 51. Число цепных темпов роста и число уровней ряда, не считая базисного, равно 6.

или 107%

или 107%

Данный расчет позволяет увидеть следующее: произведение цепных темпов роста дает базисный темп роста (формула 46).

Для нахождения корня логарифмируем выражение:

По таблице антилогарифмов определяем:

или

Среднегодовой темп прироста определяется по формуле 54 и равен:

Средний уровень ряда динамики определяется по формуле средней арифметической простой. Сумма уровней ряда равна 175 млн.р., а их число – 7.

млн.р.

Среднегодовой абсолютный прирост определяется по формуле 59 и равен:

млн.р.

2. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней. Абсолютные и относительные приросты сглаженных уровней. Графическое изображение фактических уровней ряда и звеньев скользящей средней.

Для данного ряда динамики составим скользящие средние из трехчленных звеньев, т.е. примем шаг скольжения, равный трем.

Расчет скользящих средних представим в таблице 17 (см. методуказания к задаче 6).

Абсолютные и относительные приросты найдены по формулам 42, 48.

Таблица 17

Год	Исходные уровни,	Скользящие средние,	Абсолютные приросты сглаженных уровней	Относительные приросты сглаженных уровней
		---	---	---
		(20 + 12 + 23): 3 = 21,67	---	---
		(22 + 23 + 25): 3 = 23,33	1,66	7,7
		(23 + 25 + 27): 3 = 25,0	1,67	7,2
		(25 + 27 + 28): 3 = 26,67	1,67	6,7
		(27 + 28 + 30): 3 = 28,33	1,66	6,2
		---	---	---

Изобразим графически фактические уровни ряда и звенья скользящей средней (рис. 10)

Рис. 10. Эмпирические и сглаженные уровни товарооборота

3. Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой. Графическое изображение фактических уровней ряда и уровней, полученных при аналитическом выравнивании.

Для определения параметров уравнения прямой

необходимо решить систему уравнений, которая принимает различный вид в зависимости от способа выражения временного фактора t.

Зададим t так, чтобы , т.е используем способ отсчета времени от условного начала. Тогда система двух нормальных уравнений

примет следующий вид:

Для решения системы уравнений определяем и . Расчет представим в таблице 18 (см. графы 1-6).

Подставим результаты расчетов и определим параметры уравнения:

,

Таким образом, теперь становятся понятными формулы 71, 72 для определения параметров уравнения прямой.

Таблица 18

Год
		-3	-60		20,08
		-2	-44		21,72
		-1			23,36
					25,00
					26,64
					28,28
					29,92
Итого

Получим уравнение = 25 + 1,64 t.

Подставляем в данное уравнение значения t и находим теоретические уровни ряда:

при t₁ = -3 = 25 - 1,64 * 3 = 20,08;

при t₂ = -2 = 25 - 1,64 * 2 = 21,72 и т.д.

Полученные теоретические уровни расположены на одной прямой и характеризуют основную тенденцию изменения добычи угля за рассматриваемый период.

Для определения параметров уравнения методом наименьших квадратов, зададим t в виде натурального ряда: 1, 2, 3,..., п, Решая систему двух нормальных уравнений

определим значения Σt, Σt² и Σty (см. гр. 7-9 табл.1.18).

Подставим:

46 = 28 а₁

а₁ = 1,64

Находим а₀:

175 =7 a₀ + 28 * 1,64; 175 = 7 а₀ + 45,92; 129,08 = 7 а₀; а₀ =18,44.

Для решения системы уравнений применяется способ определителей (формулы 1.69, 1.70):

Имея параметры уравнения, получим уравнение прямой:

= 18,44 + 1,64 t.

Подставляя в данное уравнение значения t, определяем :

при t₁ =1 = 18,44 + 1,64 * 1 =20,08;

при t₂ =2 = 18,44 + 1,64 * 2 = 21,72 и т.д.

Таким образом, был получен тот же выровненный ряд уровней, что и в первом случае.

Изобразим графически фактические уровни ряда и теоретические (расчетные) уровни, полученные при аналитическом выравнивании (рис. 11)

Рис.11. Эмпирический и теоретический уровни товарооборота

4. Ожи­даемый уровень анализируемого показателя на 2013 год методом экстраполяции при условии сохранения основной тен­денции:

а) на основе среднего абсолютного прироста

Прогнозное значение добычи угля на 2013 год определим, прибавив к уровню 2012 г. года значение среднего абсолютного прироста

30 + 1,67 = 31,67 млн.р.

Относительное отклонение планируемого уровня от уровня 2012 года:

б) на основе аналитического выравнивания уровней ряда

Экстраполируя выявленную тенденцию в развитии, можно определить ожидаемый уровень на предстоящий период. Для этого подставим в полученную модель значение t, которое выходит за пределы эмпирического ряда. В нашем примере t = 4, применяя первый способ определения параметров уравнения. Тогда ожидаемый уровень составит:

=25+1,64 * 4 = 31,56 млн.р.

И , используя для определения параметров уравнения метод наименьших квадратов. В этом случае ожидаемый уровень равен:

млн.р.

Относительное отклонение планируемого уровня от уровня 2012 года:

в) на основе аналитического выравнивания цепных абсолютных приростов

где - средний прирост за период, экстраполированный путем аналитического выравнивания цепных приростов

Так, цепные приросты выравниваем по прямой. Все расчеты для определения параметров уравнения методом определителей приведем в таблице 19.

Таблица 19

Годы	П
Итого

Для 2013 года t = 7, а

Значит, ожидаемый уровень равен:

млн.т.

Относительное отклонение экстраполируемого уровня от фактического – 5,2 %.

Пример 6. По двум предприятиям имеются следующие данные (табл.20) о себестоимости и объеме производства однотипной продукции:

Таблица 20

Определить:

1. Индивидуальные и сводный (агрегатный) индексы себестоимости 1 т. продукции.

2. Сумму экономи за счет снижения 1 т. на каждом предприятии и в целом на обоих предприятиях.

3. Изменение затрат на производство на каждом предприятии и в целом на обоих предприятиях.

4. Изменение средней себестоимости 1 т. продукции (в рублях и в процентах), в том числе за счет изменения себестоимости на каждом предприятии и за счет структурных сдвигов в объеме производства.

5. Абсолютный прирост затрат на производство продукции за счет увеличения физического объема продукции, а также за счет снижения себестоимости 1 т.: на каждом предприятии; в целом на обоих предприятиях.

6. Сумму экономии за счет снижения средней себестоимости, в том числе за счет снижения себестоимости на отдельных предприятиях и за счет структурных сдвигов в объеме производства продукции.

Решение

1. Сводный индекс себестоимости исчисляется по формуле:

где - затраты на производство всей продукции в отчетном периоде;

- затраты на производство всей про­дукции отчетного периода по себестоимости базисного периода.

Тогда

, или 85,7 %.

Следовательно, себестоимость продукции на двух предприятиях сни­зилась в среднем на 14,3%.

2. Сумма экономии, или дополнительных затрат, за счет измене­ния себестоимости определяется на основании индекса себестои­мости:

(млн.р.)

в том числе на первом предприятии: 900 – 1000 = - 100 (млн.р.).

3. Зная, что предварительно определяем индекс фи­зического объема производства по формуле:

Тогда:

, или 124,5 %

, или 106,7 %,

т. е. затраты на производство в целом на обоих предприятиях возросли на 6,7%.

4. Сводный индекс себестоимости переменного состава исчис­ляется по формуле

Тогда

,

или 85,4 %

Следовательно, средняя себестоимость 1 т. продукции снизилась на 70 р. (408 - 478), или на 14,6%.

Сводный индекс себестоимости постоянного состава исчисляет­ся по формуле:

Тогда:

, или 85,7 %

Следовательно, средняя себестоимость 1 т. продукции снизилась на 68 р. (408 - 476), или на 14,3%, за счет снижения себестои­мости продукции на отдельных предприятиях.

Сводный индекс структурных сдвигов исчисляется по формуле:

Тогда:

или 99,6 %

Следовательно, средняя себестоимость 1 т. продукции снизилась на 2 р. (476 - 478), или на 0,4%, за счет структурных сдвигов в объеме производства.

5. Изменение затрат на производство продукции за счет отдель­ных факторов определяется следующим образом (по первому предприятию):

а) за счет увеличения физического объема производства продукции:

(млн.р.),

б) за счет изменения себестоимости 1 т. продукции:

(млн.р.)

Затраты на производство продукции по первому предприятию в целом увели­чились на 128 млн.р. (+368-240).

Аналогично определяется изменение затрат за счет отдельных факторов по второму предприятию.

Абсолютный прирост затрат на производство продукции на двух предприятиях в целом составит:

(млн.р.)

в том числе:

а) за счет увеличения физического объема производства:

(млн.р.);

б) за счет изменения средней себестоимости 1 т. продукции:

(млн.р.).

6. Экономия (350 млн. руб.) получена за счет двух факторов:

а) за счет структурных сдвигов b объеме производства:

(млн.р.)

б) за счет снижения себестоимости 1 т. продукции на отдельных предприятиях:

(млн.р.)

Пример 7. Имеются следующие данные по заводу (таблица 21):

Таблица 21

На основании приведенных данных определить:

1. Уровни производительности труда по каждому виду продукции отдельно в базисном и отчетном периодах.

2. Индивидуальные индексы производительности труда и трудоемкости.

3. Сводный индекс производительности труда: по форме агрегатного индекса; по форме среднего арифметического индекса.

4. Индивидуальные и сводные индексы общих затрат времени и физического объема продукции.

5. Экономию времени в результате роста производительности труда при производстве каждого вида продукции и в целом по всей продукции.

6. На сколько единиц продукции и процентов изменился объем производства за счет изменения затрат времени и производительности труда: по каждому виду продукции; в целом по всей продукции.

Решение

1. Индивидуальные индексы производительности труда могут быть исчислены по формулам:

а)

б)

где - уровень производительности труда в отчетном периоде (ω₁);

- уровень производительности труда в базисном периоде (ω₀);

- затраты времени на единицу продукции (трудоемкость) в базисном периоде;

- затраты времени на единицу продукции (трудоемкость) в отчетном периоде.

В данной задаче удобнее применить первую формулу (а).

Тогда:

3. Сводный индекс производительности труда может быть исчислен:

а) по формуле агрегатного индекса:

где - общие затраты времени на всю продукцию в отчетном периоде;

- общие затраты времени на всю продукцию отчетного периода при трудоемкости базисного периода.

Тогда:

б) по формуле среднего арифметического индекса:

4. Сводный индекс общих затрат времени исчисляется по форму­ле:

Тогда:

5. Сводный индекс физического объема продукции исчисляется по формуле:

Тогда:

Этот индекс может быть исчислен и так:

6. Общая экономия времени за счет роста производительности труда составила 9500 человеко-дней (30500 - 40000).

7. Прирост производства продукции за счет отдельных факторов составил:

а) за счет изменения затрат времени:

шт.

б) за счет роста производительности труда:

шт.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: