Признаки делимости на 3 и 9.

Число тогда и только тогда делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3.

Число тогда и только тогда делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9.

Доказательство. Пусть S – любое натуральное число. Представим его так:

S = a_n · 10 ⁿ + a_{n -1}· 10 ^{n- 1} + … + a₁ · 10 + a₀, где a_n, a_{n -1}, …, a ₁, a ₀ – цифры.

Перепишем число S так:

Очевидно, что число, записанное одними девятками, делится на 9. Т.е. все слагаемые, кроме последнего т = а_n + а_{n -1}+... + а₂ + а₁ + а₀, делятся на 9 (по делимости суммы на число). Если т 9, то S 9.

Обратно, из S 9 Þ m 9(по делимости разности на число).

Значит, S 9 Û (а_n + а_{n -1}+... + а ₂+ а ₁ + а ₀) 9.

Признак делимости на 3 доказывается точно также, ибо любое число, записанное одними девятками, делится на 3.

Признаки делимости на 3 и 9 одинаковы не случайно, 3 и 9 – делители числа 10 – 1, т.е. числа на 1 меньшего основания десятичной системы счисления. Заметим, что признак делимости на 3 и 9 зависит от суммы цифр числа.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: