Простые и составные числа. Теорема 1 о существовании простого делителя

Определение. Натуральное число, большее 1, называется простым, если оно делится только на себя и на 1. Натуральное число а называется составным, если а d, где 1 < d < а.

По числу различных натуральных делителей множество целых неотрицательных чисел N₀разбивается на четыре попарно непересекающихся подмножества (класса):

4) число 1 (имеет один натуральный делитель);

5) числа простые (имеют точно два натуральных делителя);

6) числа составные (имеют не менее трех различных натуральных делителей);

4) число 0 (имеет бесконечно много натуральных делителей).

Теорема 1 (о существовании простого делителя).

Если натуральное число а > 1,то оно имеет хотя бы один простой делитель.

Доказательство (методом от противного).

Пусть дано число а. Обозначим буквой d –наименьший среди натуральных делителей числа а, больших единицы. Предположим, что d не является простым числом, а значит имеет делитель t.

Т.е. d t Ù t < d, докажем, что t = 1. Т.к. а d Ù d t Þ а t , но ведь это означает, что t еще меньший, чем d делитель числа а, что противоречит выбору d, значит t = 1,т.е. d имеет только два натуральных делителя d и 1.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: