Простые и составные числа. Теорема 2 о наименьшем простом делителе составного числа и его следствие.

Число 0 имеет бесконечно много делителей. Число 1 имеет единственный делитель 1. Любое натуральное число а > 1 имеет конечное число делителей, а в Þ 1 ≤ в ≤ а, т.е. в может принимать не более чем а различных значений.

Определение. Натуральное число, большее 1, называется простым, если оно делится только на себя и на 1. Натуральное число а называется составным, если а d, где 1 < d < а.

По числу различных натуральных делителей множество целых неотрицательных чисел N ₀ разбивается на четыре попарно непересекающихся подмножества (класса):

7) число 1 (имеет один натуральный делитель);

8) числа простые (имеют точно два натуральных делителя);

9) числа составные (имеют не менее трех различных натуральных делителей);

3) число 0 (имеет бесконечно много натуральных делителей).

4) Теорема 2. Наименьший простой делитель составного числа а не превосходит .

5) Доказательство. Пусть дано число а. Обозначим буквой р его наименьший простой делитель, тогда а = р · в, при этом р ≤ в, т.к. иначе простой делитель числа в был бы меньше, чем р. Тогда а имело бы простые делители меньшие, чем р. Умножим левую и правую часть неравенства р ≤ в на р, получим р ² ≤ р · в = а Þ р ≤ .

6) Следствие. Если число а не делится ни на одно простое число, не превосходящее , то у него нет совсем простых делителей, меньших этого числа, т.е. это число простое.

7) Например, 137 простое число. В самом деле, 1l < < 12, если 137 не делится на простые числа меньшие 12, то оно простое. 137 не делится на 2, на 3, на 5, на 7, на 11. Вывод: 137 – простое число.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: