Задача расширения понятия числа

Определение. Множество В называется расширением некоторого множества А, если оно удовлетворяет следующим четырем условиям:

1) Множество А есть собственное подмножество множества В, т.е. А Ì В.

2) Все отношения и операции, определенные в множестве А, обязательно выполняются в множестве В, при этом их смысл для элементов множества А совпадает с тем, который они имели в множестве А до расширения.

3) В множестве В выполнима какая-то новая алгебраическая операция, которая в множестве А была не выполнима или не всегда выполнима (это и есть внутренняя причина расширения множества).

Взаимосвязи между множествами чисел N, Z, Q и R можно изобразить наглядно на кругах Эйлера-Венна (рис. 1). NÌZÌQÌR – это логическая последовательность в расширении понятия числа.

Рис. 1

Исходя из данного определения расширения множества, можно дать определения множествам Z, Q, R. Действительные числа (множество R) – не последнее множество в расширении понятия числа, процесс расширения числового множества продолжается в настоящее время.

П р и м е р. Множество Z – целых чисел является расширением множества N – натуральных чисел.

В самом деле, выполняется первое условие, поскольку любое натуральное число является целым, т.е. N Ì Z. Выполняется второе условие: все отношения и операции, определенные для натуральных чисел, выполняются в множестве целых чисел, при этом их смысл для натуральных чисел совпадает с тем, который они имели в множестве натуральных чисел до расширения.

Выполняется третье условие: в множестве Z – целых чисел выполнима новая операция – вычитания, которая была не всегда выполнима в множестве N – натуральных чисел.

Четвертое условие выполняется, т.к. из курса математики известно, что множество целых чисел является минимальным расширением множества натуральных чисел.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: