Дәріс конспекті. Дәріс тақырыбы: Кездейсоқ шамалар және олардың таралу заңдары

Дәріс тақырыбы: Кездейсоқ шамалар және олардың таралу заңдары. Таралу заңы. Таралу тығыздығы. Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.

Кездейсоқ шамаларды бас әріптермен белгілейік Х, Y, Z және т.с.с., ал олардың мүмкін мәндерін – сәйкес кіші әріптермен х, y, z және т.с.с.

Х дискретті кездейсоқ шаманы мүмкін мәндерімен х₁, х₂, …, х_n қарастырайық.

Осы мәндердің әрқайсысы мүмкін, бірақ шынайы емес, және Х шамасы белгілі ықтималдықпен осы мәндердің әрқайсысын қабылдай алады. Сынақ нәтижесінде Х шамасы үйлеспейтін оқиғалардың толық тобының бір мәнін қабылдайды:

. (1.10)

Осы оқиғалардың ықтималдықтарын Р әріптерімен сәйкес индекстерімен белгілейміз:

Р(Х = х₁) = Р₁; Р(Х = х₂) = Р₂; …; Р(Х = х_n) = Р_n.

(1.10) үйлеспейтін оқиғалар толық топты құрайтындықтан, онда

,

яғни кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің ықтималдықтарының қосындысы бірге тең болады. Бұл қосынды ықтималдық белгілі түрде жеке мәндер арасында таралған.

Кездейсоқ шама ықтималдықты көзқарас жағынан толығымен сипатталады, егер біз осы таралуды тапсыратын болсақ, яғни оқиғалардың әрқайсысы қандай ықтималдықпен болатынын нақты көрсетсек. Осы арқылы біз кездейсоқ шаманың таралу заңын орнатамыз.

Кездейсоқ шаманың таралу заңы деп, кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері мен оларға сәйкес келетін ықтималдықтары арасындағы байланысты орнататын кез-келген қатынасты айтады.

Таралу заңын тапсырудың қарапайым формасы кесте болып табылады, бұл кестеде кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері және оларға сәйкес келетін ықтималдықтары көрсетіледі:

Мұндай кестені Х кездейсоқ шаманың таралу қатары деп атау қабылданған. Осы қатарға көрнекілікті қосу үшін оның графикалық бейнеленуін де келтіреді. Абсцисса осі бойынша кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері, ал ордината осі бойынша – осы мәндердің ықтималдықтары қойылады. Алынған нүктелер түзу қисықтармен қосылады. Мұндай фигура таралу көпбұрышы деп аталады(1.3-сурет).

Таралу көпбұрышы таралу қатары сияқты кездейсоқ шаманы толық сипаттайды. Бұл таралу заңы формаларының бірі болып табылады.

Үзіліссіз кездейсоқ шама үшін дискретті шама үшін орынды болатын мағынасында таралу қатары орын алмайды. Бірақ кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің әр түрлі аумақтары бірдей ықтималдықты болмайды, және үзіліссіз шама үшін «ықтималдықтар таралуы» орын алады, бірақ мағынасы жағынан дискретті шамасына қатысты өзгеше болады.

Мұндай ықтималдықтар таралуының сандық сипаттамасы үшін Х=х оқиғасының ықтималдылығын қолдану емес, ал Х < х оқиға ықтималдылығын қолданған ыңғайлы болады, мұндағы х – белгілі бір ағымдағы айнымалы.

1.3-сурет. Таралу көпбұрышы.

Осы оқиғаның ықтималдылығы белгілі бір х -тің функциясы болып табылады.

Бұл функция Х кездейсоқ шаманың таралу функциясы деп аталады және белгіленуі F(х):

F(х) = Р(Х < х). (1.11)

F(х) таралу функциясын сонымен қатар таралудың интегралды функциясы немесе таралудың интегралды заңы деп атайды.

Таралу функциясы – кездейсоқ шаманың ең әмбебап сипаттамасы, дискретті кездейсоқ шама үшін, сол сияқты үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін де қолданылады.

Таралу функциясы толығымен ықтималдықты көзқарас жағынан кездейсоқ шаманы толығымен сипаттайды, таралу заңы формасының бірі болып табылады.

Таралу функциясының қасиеттері:

• F(х) таралу функциясы өз аргументінің кемімелі емес функциясы болып табылады, яғни х₂ > х₁ болған кезде F(х₂) ≥ F(х₁).

• Минус шексіздікке таралу функциясы нөлге тең, яғни F(–∞) = 0.

• Плюс шексіздікке таралу функциясы бірге тең, яғни F(+∞) = 1.

F(х) таралу функциясының графигі жалпы түрде мәндері 0 -ден 1 -ге дейін болатын кемімейтін функция түрінде беріледі, және жеке нүктелерде функция кенет өзгереді.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу қатарын біле отырып, оның таралу функциясын құру қиын емес.

F(x) = P(X < x) =

мұнда қосынды белгісінің ішіндегі x_i < x теңсіздігі х -тен төмен x_i барлық мәндері үшін қосындының таралатынын көрсетеді.

Кез-келген дискретті кездейсоқ шаманың таралу функциясы үзілетін сатылы функция болып келеді, бұл функцияның кенет өзгерісі кездейсоқ шаманың мүмкін мәндеріне және осы мәндердің ықтималдықтарына сәйкес келетін нүктелерінде болады. F(х) функциясының барлық кенет өзгерістерінің қосындысы бірге тең.

Кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің сандарының көбеюіне қарай және олардың интервалдарының азаюына қарай кенет өзгеріс саны артады, ал кенет өзгерістердің өзі – азаяды; сатылы қисық баяулайды (қисық баулайды).

Кездейсоқ шама біртіндеп үзіліссізге жақындайды, ал оның таралу функциясы үзіліссіз функцияға жақындайды.

Таралу тығыздығы

Таралу функциясы F(х) кездейсоқ Х шаманы алайық, таралу функциясы үзіліссіз және дифференциалды (1.4-сурет). Бұл кездейсоқ шаманың х -тен х+Δх аралығына түсу ықтималдылығын есептейік: Р(х < X < x + Δх) = F(х + Δх) – F(x), яғни осы аралықтағы таралу функциясының өсімшесі.

Осы ықтималдықтың аралық ұзындығына қатынасын, яғни осы аралықтағы бірлік ұзындығына сәйкес келетін орташа ықтималдылығын қарастырайық және Δх шамасын нөлге жақындатамыз. Шексіздікте таралу функциясының туындысын аламыз:

, (1.12)

немесе

f(x) = F'(x). (1.13)

f(x) функциясы – F(х) таралу функциясының туындысы, өз мағынасы бойынша берілген нүктеде кездейсоқ шаманың мәндері таралатын тығыздықты сипаттайды.

Бұл функция таралу тығыздығы д еп аталады, немесе басқаша – Х үзіліссіз кездейсоқ шама ықтималдылығының тығыздығы. Кейде f(x) функциясын сонымен қатар Х шамасының «таралудың дифференциалды функциясы» немесе «таралудың дифференциалды заңы» деп атайды.

1.4-сурет. Таралу функциясы.

Кездейсоқ шаманың таралуының тығыздығын көрсететін қисық таралу қисығы деп аталады(1.5-сурет).

Таралу тығыздығы таралу функциясы сияқты таралу заңы формасының бірі.

Таралу функциясына қарағанда бұл форма әмбебап болып табылмайды: бұл тек қана үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін қолданылады.

Х кездейсоқ шаманың f(x) таралу тығыздығымен dx учаскесіне түсу ықтималдылығы f(x)dх -ке тең. f(x)dх шамасы ықтималдық элементі деп аталады.

1.5-сурет. Таралу қисығы.

Геометриялық түрде бұл dх кесіндісіне сүйенетін тікбұрыштың ауданы болып келеді. Геометриялық түрде Х шамасының (α, β) учаскесіне түсу ықтималдылығы осы учаскеге сүйенетін таралу қисығымен шектелген ауданға тең (1.6-сурет).

. (1.15)

Таралу функциясын тығыздық арқылы өрнектейік.
F(x) = P(X < x) = P(–∞ < X < x), осыдан (1.15) формуласы бойынша:

. (1.16)

Геометриялық түрде F(x) бұл таралу қисығымен және х нүктесінен солға қарай орналасқан ох осімен құрылған аудан болып табылады. Толық фигураның ауданы 1 -ге тең. Сол себепті f(x) функциясы күрделі және одан интеграл алу қиын болса, онда практикалық мақсаттар үшін ауданды немесе белгілі бір учаскеге кездейсоқ шаманың түсу ықтималдығын графикалық түрде анықтауға болады.

1.6-сурет. Кездейсоқ шаманың a және b аралығына түсу ықтималдығы.

(1.13) және (1.16) формулалары таралудың дифференциалды және интегралды функциялары арасында байланысты орнатады.

Кездейсоқ шаманың негізгі өлшемділігін – таралу функциясын және таралу тығыздығын нақтылайық.

F(x) таралу функциясы кез-келген шама тәрізді өлшемсіз болып келеді. f(x) таралу тығыздығының өлшемділігі, (1.12) формуласынан көрініп тұрғандай, кездейсоқ шаманың өлшемділігіне кері.

Демек, ықтималдықты көзқарас жағынан кездейсоқ шаманы толығымен сипаттайтын таралу заңдары келесілер болып табылады:

• дискретті кездейсоқ шама үшін:

а) таралу функциясы; б) таралу қатары; в) таралу көпбұрышы.

• үзіліссіз шама үшін:

а) таралу функциясы;б) таралу тығыздығы; в) таралу қисығы.

Негізгі әдебиет 11[1-100],

Қосымша әдебиет 1 [430-440]

Бақылау сұрақтары:

1. «Оқиға ықтималдылығы» деген не?

2. «Оқиға жиілігі» деген не?

3. Ықтималдықтарды қосу теоремасына анықтама бер.

4. Ықтималдықтарды көбейту теоремасына анықтама бер.

5. «Кездейсоқ шаманың таралу заңы» ұғымын түсіндір.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: