Монотонность функции

Теорема “Признак монотонности функции”. Если функция дифференцируема на промежутке и её производная на этом промежутке положительна (отрицательна), то функция на промежутке возрастает (убывает).

Например.

Найти промежутки монотонности функции .

Найдём производную . Очевидно, что при , и функция возрастающая, а при , и функция убывающая.

Экстремумы функции

Точка называется точкой максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки этой окрестности выполняется неравенство: (). Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума.

Теорема“Необходимый признак экстремума функции одного аргумента”. Если является точкой экстремума, то либо не существует.

Теорема“Первый достаточный признак экстремума функции одного аргумента”. Если непрерывна в критической точке , дифференцируема в некоторой её окрестности, за исключением быть может самой точки , и при переходе через точку производная функции меняет свой знак с + на -, то является точкой максимума, если производная меняет знак с - на +, то - точка минимума, если производная не меняет знака при переходе через , то не является точкой экстремума.

Следствие. Если , а , то при точка есть точка максимума, а при точка минимума.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a,b] надо:

1. Найти критические точки функции.

2. Выбрать из критических точек те, которые принадлежат отрезку [a,b].

3. Вычислить значение функции в выбранных точках и на концах отрезка.

4. Выбрать набольшее и наименьшее значение из полученных значений функции.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: