Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Определение. Пусть функция определена в некоторой области . Придадим каждому аргументу некоторое приращение , . Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям аргументов называют разность: .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если в окрестности этой точки полное приращение этой функции может быть представлено в виде:

где , и числа не зависят от приращений .

Определение. Полным дифференциалом первого порядка функции в точке называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно приращений аргументов :

Дифференциалы независимых переменных по определению принимаются равными их приращениям: . Можно показать, что числа совпадают со значениями частных производных функции в точке . Таким образом, полный дифференциал функции многих переменных вычисляется по формуле:

.

Например, для функции двух переменных полный дифференциал имеет вид .

Необходимым условием дифференцируемости функции многих переменных в точке является существование всех частных производных функции в этой точке.

Достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование и непрерывность всех частных производных функции в этой точке.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: