ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ

МЕХАНИКА

Методические указания

К выполнению контрольной работы № 1 по физике

Архангельск

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Хорошее усвоение теоретического материала невозможно без решения задач, помогающих лучше уяснить физический смысл явлений, законов, понятий. При решении задач целесообразно руководствоваться следующими правилами.

1. Внимательно прочитать условие задачи, уяснить, какой физический процесс или явление в ней рассматриваются.

2. Записать условие задачи в сокращенном виде, применяя обще-принятые обозначения физических величин. При решении задач следует пользоваться Международной системой единиц (СИ). Все числовые величины должны быть приведены к этой системе. Следует проанализировать, все ли данные, необходимые для решения задачи, приведены в её условии. Недостающие данные надо взять из справочных таблиц. Необходимо записывать также и те величины, числовые значения которых не задаются, но о них можно судить по условию задачи. Например, если тело начинает двигаться из состояния покоя, то следует записать, что начальная скорость υ ₀ = 0, если в задаче сказано, что какой-то величиной x можно пренебречь, обязательно следует записать, что x = 0 и т. д.

3. Задачу следует обязательно пояснять чертежом или рисунком (если это возможно), выполняя их аккуратно с помощью чертежных принадлежностей. Обозначения на чертеже и в пояснениях решений должны быть одинаковыми. Не следует обозначать одну и ту же величину разными буквами, а также обозначать различные величины одними и теми же символами.

4. Решение задачи должно сопровождаться пояснениями. В пояснениях необходимо указывать те основные законы и формулы, на которых базируется решение задачи.

5. Как правило, задача по физике решается сначала в общем виде, то есть выводится формула, в которой искомая величина выражена через величины, заданные в условии задачи. При таком решении не происходит накопления погрешностей, неизбежных при промежуточных расчетах. В тех случаях, когда преобразования, необходимые для нахождения искомой величины в общем виде, слишком громоздки (например, при расчете токов, текущих в разветвленных цепях), допускается вычисление промежуточных величин.

6. Получив решение в общем виде, сделать анализ его размерности. Для этого подставить в правую часть полученной рабочей формулы вместо символов величин обозначения единиц измерений, провести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине.

7. Произвести вычисления путем подстановки заданных числовых величин в расчетную формулу. Все вычисления рекомендуется выполнять с помощью микрокалькулятора. При вычислениях соблюдать правила приближенных вычислений и округлений.

8. Оценить правдоподобность ответа. Такая оценка в ряде случаев позволяет обнаружить ошибочность ответа. Например, скорость тела не может быть больше скорости света в вакууме, коэффициент полезного действия теплового двигателя не может быть больше единицы и т.п.

9. Ответ должен быть записан с определенной степенью точности, соответствующей точности исходных данных.

ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ

При решении физических задач редко приходится иметь дело с точными числами. Значения физических величин, заданные в условиях задач, обычно являются приближенными, так как получены в результате измерений. Истинное же значение физической величины, как правило, абсолютно точно определить нельзя, что обусловлено ограниченной точностью измерительных приборов и несовершенством наших органов чувств. Поэтому результаты измерений дают не истинное, а приближенное значение измеряемой величины. Источниками приближенных чисел являются также некоторые математические операции, например:

1,414; ln 2 0,6931.

Приближенными являются многие константы, приводимые в справочниках. К примеру, при расчетах число π обычно принимают равным 3,14. Более точное значение этой величины π = 3,1416. Однако и это значение в свою очередь является приближенным, так как получено путем округления.

Приближенными являются и все вычисления, которые выполняют при решении физических задач. При таких расчетах необходимо соблюдать правила действий с приближенными числами.

Результатамиматематических операций с приближенными числами являются числа, которые могут содержать верные, сомнительные и неверные цифры. Верной цифрой обычно называют такую, погрешность которой не превышает половины единицы ее разряда. Сомнительная цифра – следующая за верной. Неверными считаются цифры, которые стоят справа от сомнительной (или двух сомнительных). Неверные цифры принято отбрасывать путем округления.

Правила округления

1. Если первая отбрасываемая цифра меньше пяти, то последняя сохраняемая цифра не изменяется (0,1438 ≈ 0,14).

2. Если первая отбрасываемая цифра больше пяти или равна пяти, но за ней стоят цифры отличные от нуля, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу (0,1468 0,15).

3. Если отбрасывается одна цифра пять, а следующие цифры нули
или неизвестны, то последняя сохраняемая цифра не изменяется,
если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная
(42,85 42,8; 42,75 42,8).

Экспоненциальная форма записи чисел

При выполнении расчетов часто используют экспоненциальную (показательную) форму записи чисел в виде ± М∙10 ^Е, где М – мантисса числа, Е – порядок. Если мантисса числа записана так, что в разряде единиц стоит цифра от 1 до 9, а все остальные цифры – в десятичных разрядах после запятой, то говорят, что число представлено в нормализованном виде. Например, число 0,000314 в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой записывают в виде 3,14∙10⁻⁴, число 2483 – в виде 2,483∙10³.

Количество значащих цифр в числе

К значащим относят все верные и сомнительные цифры. К незначащим – нули слева и те нули справа, которые заменяют отброшенные путем округления или неизвестные цифры. Например, в числе 0,00401 – 3 значащие цифры; в числе 8400 – 4 значащие цифры. Чтобы избежать недоразумений, не следует писать нули вместо отброшенных или неизвестных цифр. В этом случае принято использовать экспоненциальную форму записи чисел. Так число 8400, если оно имеет 2 значащие цифры, следует записать, например, как 84∙10² или 8,4∙10³ и т.п.

Для того чтобы можно было судить о точности приближенного числа, его необходимо записывать так, чтобы оно не содержало неверных цифр. Если по каким-то причинам неверные цифры не отброшены, они считаются незначащими.

Точность расчетов

При решении задач обычно используют микрокалькулятор или персональный компьютер, которые позволяют существенно сократить затраты времени на вычисления. Однако результаты расчетов, выполненных с помощью вычислительной техники, необходимо анализировать, так как не все цифры, которые будут получены, могут быть значащими. Проиллюстрируем это примером. Предположим, что необходимо выполнить расчеты по формуле

S = at ²∕ 2,

где а = 1,3 м/с²; t = 12,1 с.

В этой формуле число 2 – точное, а физические величины а и t являются числами приближенными. После подстановки числовых значений в расчетную формулу и вычислений можно получить такой результат:

S = 1,3∙12,1²∕ 2 = 95,1665 м.

Однако в полученном числе не все цифры являются достоверными. Действительно, в исходных данных последние значащие цифры являются сомнительными, так как могли быть получены, например, путем округления. Исходные значения величин могли быть такими: а = 1,34 м/с²; t = 12,14 с или а = 1,26 м/с²; t = 12,06 с. В результате вычислений могли быть соответственно получены следующие результаты:

S = 1,34·12,14²∕ 2 = 98,744332 м; S = 1,26·12,06²∕ 2 = 91,629468 м.

Сравнение результатов показывает, что они отличаются уже вторыми знаками слева. Следовательно, верным является только первый знак, второй – сомнительным. Остальные цифры не несут никакой информации и могут лишь ввести в заблуждение относительно высокой точности полученного результата. С учетом этого в рассмотренном примере результат следует округлить до двух значащих цифр, то есть считать, что S 95 м.

При выполнении математических операций с приближенными числами необходимо соблюдать несколько правил.

1. При сложении и вычитании результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из слагаемых. Например:

346 + 2,2 = 348,2 348.

2. При умножении и делении результат должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в исходном числе с наименьшим количеством таких цифр. Например:

3,14·1,3 = 4,082 4,1.

3. При возведении в степень или извлечении корня любой степени, логарифмировании или вычислении какой-либо стандартной функции результат записывают с тем же количеством значащих цифр, какое содержит аргумент.

4. Для того чтобы исключить накопление погрешностей за счет округления, в промежуточных расчетах принято сохранять один лишний знак, который отбрасывают при записи окончательного результата.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: