Достаточный признак сходимости числового знакоположительного ряда - интегральный признак Коши

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции .

Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая. Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.

Пример.

Для ряда необходимое условие сходимости выполнено, так как

Рассмотрим функцию . Она положительная, непрерывная и убывающая на интервале . Найдем производную:

.

Она отрицательная на промежутке , следовательно, функция убывает на этом интервале.

То есть, несобственный интеграл расходится, следовательно, расходящимся является исходный числовой ряд.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: