Определение числа действительных корней

⇐ Предыдущая 27 28 29 30 31 32 333435 36 Следующая ⇒

Пусть дано алгебраическое уравнение степени

, (7.3)

где – действительные коэффициенты.

Определить приближенно число действительных корней уравнения (7.3) можно с помощью правила Декарта: Число положительных корней уравнения (7.3) с учетом их кратностей равно числу перемен знаков в последовательности коэффициентов (причем равные нулю коэффициенты не учитываются) или меньше этого числа на четное число. Для определения числа отрицательных корней достаточно применить правило Декарта к многочлену .

Более точно число корней уравнения (7.3) можно определить, используя теорему Штурма: Пусть уравнение (3) не имеет кратных корней на некотором отрезке . Обозначим через производную ; через остаток от деления на , взятый с обратным знаком; через остаток от деления на , взятый с обратным знаком; и т.д. до тех пор, пока не получим . Получился так называемый ряд Штурма:

. (7.4)

Число действительных корней уравнения (7.3), расположенных на отрезке , равно разности между числом перемен знаков в последовательности (7.4) при и числом перемен знаков в последовательности (7.) при .

Практическое применение теоремы Штурма сводится к следующему: Определяются границы отрезка, на котором расположены действительные корни уравнения (7.3) и их число. Полученный отрезок делится на некоторое число частей точками : . Рассматривая отрезок по теореме Штурма, определяется число корней на этом отрезке. Если окажется, что их больше одного, то этот отрезок делится пополам и теорема Штурма применяется к каждому полученному отрезку. Процесс продолжается до тех пор, пока на каждой части отрезка уравнение (7.3) будет иметь не больше одного действительного корня.