Бесконечно малые величины и их св-ва

Опр. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет. Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. . Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие f(x) = A + a(x),где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах

. Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где , тогдаf(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана. Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где , тогда

A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит Теорема доказана.

38. 1 замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB через Х.

Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

39.2 замечательный предел.

Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x→∞, то n→∞, тогда

По признаку о существовании пределов:

40. Сравнение бесконечно малых.

Пусть при х ® а а(х) и в(х) – бесконечно малые, тогда:

- если lim (в/а) = 0, то в – бесконечно малая высш. порядка, чем а.

- если lim (в/аⁿ) ≠ 0, то в – бесконечно малая n-порядка, чем а.

если lim (в/а) = 1, то а и в – эквивалентные бесконечно малые.

41. Непрерывные функции и их свойства. Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Это означает:

- функция определена в точке х₀ и в ее окрестности;

- функция имеет предел при х→х₀

- предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х₀

42. Точка разрыва функций и их классификация.