Производная суммы и частного.

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

52. Теорема Коши

Если функции f (х) и (х) непрерывны на отрезке [ а, b ] и дифференцируемы в интервале (а, b), причем , то существует точка сÎ (а,b) такая, что Доказательство. Рассмотрим функцию F (х) = [ f (х) -f (а)] – . [ (х) - (а)]. Легко проверить, что эта функция удовлетворяет теореме Ролля (аналогично тому, как это было сделано в предыдущей теореме). Следовательно, существует точка сÎ (a, b.) такая, что . Отсюда получаем утверждение теоремы. Замечание. Равенства и называются соответственно формулами Лагранжа и Коши.   54.Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест. т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Доказательство:применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0.

55. Необходимое условие существования точки перегиба:

если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x0, имеет в x0 точку перегиба, то .

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и , и при , а , то функция f(x) имеет в x0 точку перегиба.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: