Матричный способ решения систем линейных уравнений.

Пусть число уравнений системы равно числу переменных, т.е. m = n. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель D=| A | называется определителем системы.

Рассмотрим решение системы двух уравнений с двумя переменными:

в которой хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля.

Для решения этой системы исключим переменную x ₂, умножив первое уравнение на a ₂₂, второе – на (– a ₁₂) и сложив их. Затем исключим переменную x ₁, умножив первое уравнение на (– a ₂₁), второе – на a ₁₁ и также сложив их. В результате получим систему:

Выражение в скобках есть определитель системы

Обозначив , , система примет вид:

Из полученной системы следует, что если определитель системы D¹0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: , .

Если D=0, а D₁¹0 (или D₂¹0), то система несовместная, так как в этом случае приводится к виду:

Если D=D₁=D₂=0, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений, так как в этом случае приводится к виду:

Формулы Крамера.

Теорема Крамера. Пусть D – определитель матрицы системы A, а D _j – определитель матрицы, получаемой из матрицы A заменой j -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если D¹0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Метод Гаусса.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

13. Системы m линейных уравнений с n переменными, базисные допустимые решения.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r < n, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: