Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения: x_i – общий (валовой) объем продукции i -й отрасли (i = 1, 2, …, n);

x_ij – объем продукции i -й отрасли, потребляемой j -й отраслью в процессе производства (i, j = 1, 2, …, n);

y_i – объем конечного продукта i -й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i -й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

Уравнения называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в уравнения, имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат

показывающие затраты продукции i -й отрасли на производство единицы продукции j -й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты a_ij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

x_ij = a_ijx_j, (i, j = 1, 2, …, n),

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношения баланса примут вид:

Обозначим , , ,

где X – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продукта, A – матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).

Тогда систему можно записать в матричном виде:

X = AX + Y.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем уравнение в виде:

(E – A) X = Y.

Если матрица (E – A) невырожденная, т.е. | E – A | ¹ 0, то

X = (E – A)^–1 Y.

Матрица S = (E – A)^–1 называется матрицей полных затрат.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = (s_ij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта Y ₁ = (1, 0, …, 0)', Y ₂ = (0, 1, …, 0)'. Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут X ₁ = (s ₁₁, s ₂₁, …, s_{n 1})', X ₂ = (s ₁₂, s ₂₂, …, s_{n 2})', …, X_n = (s _{1 n}, s _{2 n}, … s_nn)'.

Следовательно, каждый элемент s_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i -й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j -й отрасли y_j = 1 (j = 1, 2, …, n).

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения x_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях y_i ≥ 0 и a_ij ≥ 0, где i, j = 1, 2, …, n.

Матрица A ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора Y ≥ 0 существует решение X ≥ 0. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: