Неопределенные интегралы

В дифференциальном исчислении основной операцией является нахождение производной заданной функции. Сущность здесь заключается в установлении скорости изменения этой функции по сравнению с аргументом.

Функция F (х) называется первообразной функцией для данной функции f (х) (или, короче, первообразной данной функции f (х)) на данном промежутке, если на этом промежутке

определёный

неопределёный

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал — подынтегральному выражению.
   Действительно

.

По определению дифференциала имеем

.

1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции f (x) равен функции f (x) с точностью до постоянного слагаемого, т. е.

.

14.Понятие определённого интеграла

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x) на конечном отрезке [ a, b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [ a, b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x) – какая-нибудь первообразная функция для f (x), то, согласно определению,

(38)

При a = b по определению принимается

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F (b) – F (a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F (x) + C. Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [ a, b ] приращения всех первообразных функции f (x) совпадают.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: