Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными

Рассмотрим систему неравенств

предполагая, что , . Тогда неравенству удовлетворяют точки множества , лежащие по одну сторону от прямой , заданной уравнением .

Аналогично множество - одна из полуплоскостей, на которые разбивается координатная плоскость прямой , заданной уравнением .

Множество решений системы , представляет собой пересечение множеств и .

Аналогично решаются системы неравенств, получаемых из системы , заменой одного или двух знаков неравенств на противоположные.

Если пересекающиеся в точке прямые и (рис. 1) задаются соответственно уравнениями

и , то неравенство определяет либо объединение одной пары и вертикальных углов с вершиной (рис. 1), либо объединение другой пары и вертикальных углов с той же вершиной.

В самом деле, во всех точках каждого из множеств , , , левая часть неравенства принимает либо положительные, либо отрицательные значения, а при переходе от одного из этих множеств к соседним (через одну из прямых , ) знак левой части этого неравенства меняется на противоположный.

Если, например, на множестве левая часть неравенства положительна, то на множествах и она будет отрицательной, а на - положительной.

Чтобы определить, на каком из двух множеств или справедливо неравенство , достаточно определить знак левой части этого неравенства в какой-либо точке одного из множеств , , , .

7.Бесконечные последовательности

Функция f (n), определенная на множестве натуральных чисел, образует последовательность действительных чисел. Значения an = f (n), которые принимает эта функция, называются членами последовательности. Множество значений an = f (n) обозначается как { an }. Числовая последовательность { an } имеет предел L, если для каждого ε > 0 существует натуральное число N > 0, такое, что при всех n ≥ N выполняется неравенство . В этом случае мы записываем Числовая последовательность { an } имеет предел ∞, если для любого положительного числа M существует натуральное число N > 0, такое, что для всех n ≥ N справедливо неравенство an > M. В этом случае используется обозначение Если предел существует и L конечно, то говорят, что числовая последовательность сходится. В противном случае последовательность расходится. Теорема "о двух милиционерах": Предположим, что и { cn } является последовательностью, такой что для всех n > N, где N − натуральное число. Тогда Последовательность { an } является ограниченной, если существует такое число M > 0, что | an | ≤ M для любого значения n. Если числовая последовательность сходится, то она ограничена. Любая неограниченная последовательность расходится. Последовательность { an } называется монотонно возрастающей, если an ≤ an+ 1 для всех n ≥ 1. Аналогично, последовательность { an } называется монотонно убывающей, если an ≥ an+ 1 для всех n ≥ 1. Последовательность { an } называется монотонной, если она монотонно возрастает или монотонно убывает.

8.Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому,

предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: