Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е. .

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Определение 1. Внутренние точки окрестности точки , удовлетворяющие системе уравнений:

,

называются стационарными точками функции для любой упорядоченной пары из - окрестности точки , т.е. .

Определение 2. Подозрительные на локальный экстремум являются критические точки, в которых хотя бы одна из частных производных , не существует или если они обе существуют, то равны нулю[1].

№13 Неопределенный интеграл, основные теоремы.