Интегрирование рациональной дроби

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒

Задача интегрирования сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:

Здесь, β=2, 3, …; λ=2, 3, …; B, M, N, b, p и q – некоторые вещественные числа, причем трехчлен x²+px+q не имеет вещественных корней, т.е. q-p²/4>0.

При этом справедлива следующая теорема: Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

#16. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

№17

— Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина равная 2а.

— F₁(c,0), F₂(-c,0) – фокусы эллипса. A₁(a,0),A₂(-a,0), B₁(0,b), B₂(0,-b) – вершины эллипса

№18

— Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная равная

— Фокусы гиперболы обозначим через F₁ и F₂, а расстояние между ними - через 2с

№19

— Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

— y²=2px - каноническое уравнение параболы

№ 20. Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.

Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁= 0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂ =0, где коэффициенты A₁,B₁,C₁ и A₂,B₂,C₂ не пропорциональны:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁ =0 (8.10)

A₂x+B₂y+C₂z+D₂ =0.

Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.

Составим уравнения прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a ={l,m,n}.

Определение 8.1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М₀М = { x - x₀,y - y₀,z - z₀) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:

(8.11)

называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

М₁(х₁, у₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М₁М ₂ = { x₂ – x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁ }, и уравнения (8.11) принимают вид:

- (8.12)

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8.11) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

.

Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀,у₀,z₀) перпендикулярно вектору n = { A,B,C },называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М₀М = { x - x₀,y - y_0, z - z₀) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) =0

(8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

Ax+By+Cz+D =0, (8.2)

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

21. Система линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a_ij, b_i (i =1.. m; j =1.. n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел (x ₁= k ₁, x ₂= k ₂, … x _n= k _n), при подстановке которых в (1) каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система, называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

№22

или, в сокращенной записи А=(а_ij) i=1.. m; j=1.. n

Две матрицы А и В одного размера mхn называются равнымиесли они совпадают поэлементно,

т.е. а_ij =b_ij для всех i=1.. m; j=1.. n.

Классификация матриц

— Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)-столбцом.

— Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n.

— Элементы матрицы а_ij, у которых i = j называются диагональными элементами и образуют главную диагональ.

— Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется диагональной.

— Единичной, называется диагональная матрица, элементы которой равны единице.

— Симметрической называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали,равны, т.е.

— Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие по одну из сторон главной диагонали, равны нулю

—

№23операции над матрицами

— Умножение матрицы на число.

— Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой b_ij =λ а_ij для всех i=1… m; j=1… n.

— Сложение матриц.

— Суммой двух матриц А и В одинакового размера mxn называется матрица С=А+В, элементы которой с_ij =а_ij+ b_ij для всех i=1… m; j=1…n.

— Вычитание матриц.

— Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + (−1)∙В.

— Умножение матриц.

— Умножение матриц А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица, каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

— Целой положительной степенью А^m квадратной матрицы А называется произведение m матриц А, т.е. А^m = А ∙А∙ …∙А

— Транспонирование матрицы.

— Транспонированием матрицы называется переход от матрицы А к А^т (или А'), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. А^т – называется транспонированной относительно матрицы А.

—

№24

— Каждой квадратной матрице А, можно поставить в соответствие вычисленное по определенным правилам число, называемое определителем квадратной матрицы.

— Определителем матрицы первого порядка А=(а₁₁) или определителем первого порядка называется элемент а₁₁. Обозначается Δ₁ = а₁₁ или│А│= а₁₁.

— Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ₂ = │А│= а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁.

— Определителем матрицы третьего порядка

или определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле:

Δ₃ = │А│= а₁₁а₂₂ а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁+а₂₁а₃₂а₁₃– а₃₁а₂₂а₁₃

– а₁₂а₂₁а₃₃ – а₃₂а₂₃а₁₁.

Свойства определителей

— 1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то её определитель равен нулю.

— 2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то её определитель умножится на это число λ.

— 3. При транспонировании матрицы её определитель не изменится.

— 4. При перестановке 2-х строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.

— 5. Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен нулю.

— 6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.

— 7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.

— 8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.

9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: │АВ│=│А││В│.

№25

— Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А^-1∙А = А ∙А^-1 = Е.

— Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при │А│=0) – вырожденной, или особенной.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2025 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных