Аксиома полноты в форме Дедекинда

Аксиомы сложения

- Для любых чисел a, b ∈ R определено единственное число a + b ∈ R, называемое суммой чисел a и b.

- Для любых чисел a, b ∈ R имеет место соотношение a + b = b + a (коммутативность).

- Для любых чисел a, b, с ∈ R имеет место соотношение a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность).

- Существует число 0 ∈ R такое, что a + 0 = a для всех a ∈ R. Число 0 носит название нуль.

- Для любого числа a ∈ R существует число b ∈ R такое, что a + b = 0.

Аксиомы умножения

- Для любых чисел a, b ∈ R определено единственное число a · b ∈ R, называемое произведением чисел a и b.

- Для любых чисел a, b ∈ R имеет место соотношение a · b = b · a (коммутативность).

- Для любых чисел a, b, c ∈ R имеет место соотношение a · (b · c) = (a · b) · c (ассоциативность).

- Существует число 1 ∈ R такое, что 1 · a = a для всех a ∈ R. Число 1 носит название единица.

- Для любого числа a ∈ R, a ≠ 0 существует число b ∈ R такое, что a · b = 1.

- Для любых чисел a, b, c ∈ R имеет место соотношение a · (b + c) = (a · b) + (a · c) (дистрибутивность).

Аксиомы порядка

- Для любых чисел a, b ∈ R имеет место одно и только одно из следующих соотношений: a < b, a =b, a > b.

- Для любых чисел a, b, c ∈ R таких, что a < b и b < c, справедливо соотношение a < c (транзитивность).

- Для любых чисел a, b, c ∈ R таких, что a < b, справедливо соотношение a + c < b + c.

- Для любых чисел a, b, c ∈ R таких, что a < b и c > 0, справедливо соотношение a · c < b · c.

Если a < b, то говорят, что a меньше b (b больше a); в этом случае пишут также b > a. Если a < b или a = b, то пишут a ≤ b. Действительные числа, удовлетворяющие неравенству a > О, называются положительными; действительные числа, удовлетворяющие неравенству a < 0, называются отрицательными.

Аксиома полноты в форме Дедекинда

Формулировка: Для каждого сечения множества действительных чисел существует число, производящее это сечение.

Дедекиндово сечение (узкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.

Аксиома Архимеда

Первоначально сформулированная для отрезков, заключающаяся в том, что, отложив достаточное число раз меньший из двух заданных отрезков, можно покрыть больший из них. Иначе говоря аксиома Архимеда заключается в отсутствии бесконечно малых величин.

В более современной формулировке она выглядит так: Для абелевой линейно упорядоченной группы справедлива аксиома Архимеда, если для любых двух элементов a,b > 0 существует натуральное число N такое что Na > b.

28) Предел последовательности и его свойства.

В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.

Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.

Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов. Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно или, точнее, секвенциально компактно.

Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.

29) Предел монотонной последовательности. Теорема о вложенных интервалах.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: