Теорема о вложенных интервалах

Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия теоремы следует, что левые концы отрезков образуют неубывающую последовательность а1 ≤ a2 ≤ a3 ≤…≤ an ≤…, а правые концы – невозрастающую последовательность b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥…≥ bn ≥…. При этом последовательность левых концов ограничена сверху, а последовательность правых концов ограничена снизу, так как an≤ b1, а bn≥ a1 для любого n. Следовательно, на основе теоремы Больцано – Вейерштрасса эти последовательности имеют предел.

Пусть , а . Тогда из условия следует, что c ' = c '', т.е. последовательности {an} и {bn} имеют общий предел. Обозначая этот предел буквой с, получаем, что для любого номера n справедливы неравенства an≤ c ≤ bn, т.е. точка с принадлежит всем отрезкам последовательности вложенных отрезков.

Докажем теперь, что такая точка только одна. Допустим, что существует еще одна точка c1 (c1 ≠ c), принадлежащая всем отрезкам последовательности вложенных отрезков. Тогда для любого n > N должно выполнятся неравенство , и, следовательно, начиная с некоторого номера, bn - an ≥ | c1 - c |, что противоречит условию теоремы.

30) Фундаментальные последовательности. Аксиома полноты в форме Коши.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: