Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах функции.

Пусть а – число. Функция у=f(x) задана в некоторой проколотой окрестности точки а, т. е. при Точка а не обязательно входит в D(f). Рассмотрим ряд последовательностей {хn}, значения которых лежат в области определения f(x) () и таких, что Для каждой такой последовательности хn построим последовательность уn=f(xn).

Если все последовательности {уn} имеют пределы, эти пределы совпадают между собой и равны некоторому b, то говорят, что функция f(x) при x, стремящемся к а, имеет предел, равный b. В противном случае говорят, что функция f(x) при x, стремящемся к а, не имеет предела.

Опр. 1. Число b называется пределом функции f(x) в точке х=а, если для любой последовательности хn, сходящейся к а ( при любом n), последовательность соответствующих значений функции у=f(xn) сходится и ее предел равен b. Кратко пишут f(x)=b.

Пусть функция f(х) определена на бесконечном промежутке (а, ∞).

Опр. 2. Число b называется пределом функции f(x) при х→+∞, если для любой положительной бесконечно большой последовательности хn, последовательность соответствующих значений функции у=f(xn) сходится и ее предел равен b. Кратко пишут f(x)=b.

Основные теоремы о пределах функций.

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.

3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.

4. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции (постоянный множитель выносится за знак предела).

5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю). Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель - нет, то отношение стремиться к бесконечности.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: