Задачи, приводящие к понятию производной. Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной к кривой.

Опр. 1. Пусть функция у=f(х) определена в точке х0 и некоторой ее окрестности, придадим точке х0 приращение Δх и получим точку х0+Δх, значение функции в этой точке – f(х0+Δх). Разность значений f(х0+Δх) – f(х0) называется приращением функции, обозначается приращение функции Δf или Δу, т.е. Δf=f(х0+Δх) – f(х0).

Опр. 2. Производная функция у=f(х), в точке х0 определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении Δх к нулю. Обозначается f `(x0) = lim (Δf/Δx).

Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и таблицы производных элементарных функций.

Опр. 3. Функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке.

Опр. 4. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале.

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Физический смысл. Производная - это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f’(x) Δf/Δx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Δx. Производная f’(x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Δf и Δx

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: