Дослідження функції, побудова графіка

Дослідження функцій займає немало часу при розв'язуванні контрольних, домашніх завдань і щоб навчитися швидко розв'язувати потрібна інструкція, яка пояснює порядок дій і для чого це потрібно. Така інструкція розроблена викладачами і узагальнена на всі типи функцій вже давно, а ми її називаємо – загальна схема дослідження функції.

Щоб дослідити функцію та побудувати її графік необхідно:

1) знайти область визначення функції, тобто множину всіх точок для яких існує значення функції;

2) знайти (якщо вони існують) точки перетину графіка з координатними осями. Для цього потрібно у рівняння підставити , а також розв'язати рівняння для відшукання точок перетину з віссю ;

3) дослідити функцію на періодичність, парність і непарність. У деяких випадках це можна зробити візуально за самим виглядом функції, якщо ні- то проводимо перевірку:

1. – функція парна;

2. – функція непарна;

3. – функція періодична, – період функції.

Таким чином, якщо маємо парну функцію , то достатньо побудувати її для додатніх значень , після чого відобразити симетрично відносно осі абсцис на решту області. У випадку непарної функції графік буде симетричний відносно початку координат. Для прикладу, якщо маємо непарну функцію, графік якої належить першій чверті другу половину отримаємо поворотом першої чверті на 180 градусів (третя чверть).

Періодичними є переважно фукнкції, складені з простих тригонометричних та деякі параметрично задані функції.

4) знайти точки розриву та дослідити їх (такими точками є краї інтервалів визначення функції);

5) знайти інтервали монотонності, точки екстремумів та значення функції в цих точках;

6) знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину;

7) знайти асимптоти кривої;

8) побудувати графік функції.

41))

Нехай задано безліч впорядкованих пар чисел . Відповідність , яка кожній парі чисел ставить у відповідність одне і лише одне число, називається функцією двох змінних, визначеною на множині із значеннями в , і записується у вигляді або . При цьому і називаються незалежними змінними (аргументами), - залежною змінною (функцією).

Множина називається областю визначення функції. Безліч значень, що приймаються в області визначення, називається областю значень цієї функції, позначається або .

Прикладом функції двох змінних може служити площа прямокутника із сторонами, довжини яких рівні і . Областю визначення цієї функції є множина .Функцію , де можна розуміти (розглядати) як функцію точки координатної площини . Зокрема областю визначення може бути вся площина або її частина, обмежена деякими лініями. Лінію, що обмежує область, називають межею області. Точки області, що не лежать на межі, називаються внутрішніми. Область, що складається з одних внутрішніх точок, називається відкритою. Область з приєднаною до неї межею називається замкнутою, позначається . Прикладом замкнутої області є круг з колом.

Значення функції в точці позначають або і називають частинним значенням функції.
Функція двох незалежних змінних допускає геометричне тлумачення. Кожній точці області в системі координат відповідає точка , де – апліката точки . Множина всіх таких точок представляє собою деяку поверхню, яка в точці і буде геометрично зображати дану функцію
Наприклад, функція має областю визначення круг і зображується верхньою півсферою з центом в точці і радіусом (див. рис. 1).

Функція двох змінних, як і функція однієї змінної, може бути задана різними способами: таблицею, аналітично, графіком. Будемо користуватися, як правило, аналітичним способом: коли функція задається за допомогою формули.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: