Неперервність функції двох змінних

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо .

Означення. Функція називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Приклад 13. Розглянемо функцію двох незалежних змінних

Ця функція має розрив у точці (0; 0), бо в точці для функції границі не існує.

Тут ми спостерігаємо цікаве явище. Функція, що розглядається, не є неперервною в точці (0; 0) по двох змінних водночас, але є неперервною по змінних x та y окремо.

Приклад 14. Точки розриву можуть бути не тільки ізольованими, як у попередньому прикладі, а й заповнювати лінії, поверхні і т.п. Так, функції двох змінних , мають розриви: перша - прямі , друга - окіл .

Для функції трьох змінних , розриви заповнюють у першому випадку гіперболічний параболоїд , а в другому - конус .

Означення. Нехай функція визначена на множині Е, а змінні x і y, у свою чергу,
залежать від змінних u та v і , , де обидві функції та визначені на множині D. Якщо для будь-якого значення , такі, що (рис. 1.12), то кажуть, що на множині D визначена складна функція , де , ; x, y - проміжні змінні, u, v - незалежні змінні.

Рис. 1.12.

Приклад 15. Функція , де , - складна функція. Вона визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді .

Означення. Функцію , яка визначена на множині називають неперервною по множині в точці , якщо .

Теорема 6. Нехай на множині D визначено складну функцію, де,, і нехай функції, неперервні в точці, а функція неперервна в точці, де,. Тоді складна функція неперервна в точці.

43)) В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Часткова похідна функції f за змінною x записується так: f_x або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі.

Означення

Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,

Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:

Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція f_x, котра є функцією від одного дійсного аргумента. Тобто,

Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x,y) визначає функцію f_a, залежну тільки від y: a ² + ay + y ²:

В цьому виразі, a - константа, а не змінна, отже f_a - функція від одного дійсного аргумента - y. Відповідно до означення похідної функції одного аргумента:

Наведену процедуру можна здійснити для довільного вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y:

Тут використовується символ ∂, котрий називають символом часткової похідної.

В загальному випадку, часткову похідну функції f(x₁,...,x_n) за змінною x_i в точці (a₁,..., a_n) записують так:

В цьому різницевому відношенні усі змінні, крім x_i, зафіксовані. Іншими словами, різний вибір індекса a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.

Важливим прикладом функції кількох змінних є випадок скалярної функції f (x ₁,... x_n) в евклідовому просторі R ⁿ (наприклад, R ² або R ³). В цьому випадку f має часткову похідну ∂ f /∂ x_j по кожній змінній x_j. В точці a, ці часткові похідні визначають вектор

Цей вектор називають градієнтом f в точці a. Якщо f диференційовна в кожній точці певної області, то градієнт — векторна функія ∇ f, котра в точці a перетворюється у вектор ∇ f(a). Відповідно градієнт визначений у векторному полі.

Рівняння, що містять часткові похідні, називають рівняннями в часткових похідних, і вони часто використовуються у фізиці, інженерії та інших науках і прикладних дисциплінах.

Нотація

Нехай надалі f — функція, залежна від x, y та z.

Часткові похідні першого порядку мають вигляд:

Часткові похідні другого порядку:

Мішані похідні другого порядку:

Часткові та мішані похідні вищих порядків:

Коли йдеться про функції багатьох змінних, варто звернути увагу на те, що деякі з них можуть залежати від інших, і може виникнути потреба в уточненні змінних, котрі є сталими. У таких дисциплінах, як статистична механіка, часткова похідна функції f за змінною x, при зафіксованих y та z, часто записується так:

Формальне означення та властивості

Як і звичайні похідні, часткова похідна означається як границя. Нехай U — відкрита підмножина функції R ⁿ та f: U → R. Частковою похідною функції f в точці a = (a ₁,..., a_n) ∈ U за i -ю змінною x_i є

Навіть якщо всі часткові похідні ∂ f /∂ x_i (a) в точці a існують, функція не обов'язково є в ній неперервною. Та якщо всі часткові похідні існують в околі точки a і є в ньому неперервними, то f є диференційовною в цьому околі і повна похідна є неперервною. В такому разі кажуть, що f належить простору функцій C¹. Цей факт можна використати для узагальнення в простір векторних функцій (f: U → R^m), покомпонентно вибираючи аргумент.

Часткову похідну можна розглядати як іншу функцію на області U і частково диференціювати ще раз. Якщо всі мішані часткові похідні другого порядку неперервні в точці (чи проміжку), кажуть, що f в точці (або на проміжку) належить простору функцій C²; за таких умов часткова похідна може бути замінена за теоремою Клеро:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: