Диференціал, його застосування

Якщо функція диференційовна, то існує і , де - нескінченно мала величина при .

Доданок є нескінченно мала величина більш високого порядку, ніж кожна з нескінченно малих чи . А тому можна записати .

Означення 1. Лінійна відносно частина приросту диференційованої функції називається її диференціалом і позначається , тобто або , тому що диференціалом незалежної змінної є його приріст, тобто

.

Зауваження. З останньої формули випливає, що . Саме тому похідну часто позначають або і розуміють її як відношення двох диференціалів: диференціала функції до диференціала аргументу.

Для з’ясування геометричного змісту диференціала проведемо дотичну до графіка функції в точці . Розглянемо ; . Але .

Таким чином, диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка функції в точці . На основі означення диференціалу маємо при малих приростах аргументу .

Якщо розписати ліву і праву частину наближеної рівності, то отримаємо або .

Оскільки , а тому , то остання формула може прийняти ще й такий вигляд

,

тобто в околі точки функція заміняється лінійною функцією – проходить звичайна лінеалізація функції.

Про обчислення елементарних функцій з будь-якою точністю ми будемо говорити пізніше, а зараз покажемо, як в деяких випадках і диференціал функції може бути використаний для цього.

46)))

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: