Метод інтегрування частинами

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, і хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Нехай u та v деякі функції х, тобто .

Розглянемо диференціал добутку цих функцій.

Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо

Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо

Отже, одержали формулу

яку називають формулою інтегрування частинами.

Ця формула дозволяє звести пошук інтеграла до пошуку інтеграла . Якщо вдало обрати u та dv, інтеграл може бути табличним або простішим, ніж початковий інтеграл

Приклад. Знайти

Розв'язування. Нехай u = lnx, dv = dx. Тоді v = x

За формулою інтегрування частинами одержимо

Таблиця інтегралів раціональних функцій

for

Будь-яка раціональна функція може бути проінтегрована з використанням вищенаведених рівнянь і методу розкладу на прості дроби, тобто декомпозицією раціональної функції в суму функцій вигляду:

.

54))) Інтегрування деяких ірраціональних і трансцендентних функцій.

У даному параграфі означення R (U, V… W) вказує на те, що над величинами U, V…W виконуються тільки раціональні алгебраїчні операції, тобто дії додавання, віднімання, множення і ділення, підведення у цілу степінь.

Наприклад, функцію f(x) = (x+1)(1+ ) слід віднести до типу R(x, ), а функцію f(x) = (3^x+1)(3^2x+4) – до типуR(3^x).

Розглянемо деякі типи інтегралів, які за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій.

1⁰. Інтеграли виду I =

n - натуральне число, а, b, c, d - дійсні числа, ad≠ bc.

До раціонального підінтегрального виразу приводить підстановка:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: