Допускающие понижение порядка.

I. Уравнения вида y^′′ = f(x)

решается последовательным двукратным интегрированием. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а общее решение содержит две константы.

Пример 10. 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y''=sin3x.

Решение. Последовательно интегрируя данное уравнение, получим

.

II. Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции

Уравнение вида F(x, y', y'') = 0 допускает понижение порядка введением новой функции, следующим образом y'= p(x), тогда y''= p'(x).

Пример 10.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Данное уравнение не содержит функции у, поэтому положим

y'= p(x), тогда y''= p'(x) и уравнение примет вид:

Получили однородное уравнение первого порядка. Для его решения воспользуемся подстановкой p=ux, тогда p'= u'x+u и, следовательно, приходим к уравнению

откуда .

Возвращаясь к функции у, получаем общее решение

или .

Это уравнение с разделяющимися переменными

Интеграл, стоящий в правой части уравнения интегрируем по частям:

= .

Окончательно получаем: .

III. Уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной

Уравнение F(y, y', y'') = 0 при помощи подстановки y'= p(y) уравнение сводиться к уравнению первого порядка

F(y, p, p ) = 0.

Пример 10.7. Найти частное решение дифференциального уравнения

2yy'³+y''=0, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0, y'(0)=-3.

Решение. Это уравнение не содержит независимой переменно, следовательно, будем его решать, полагая y'= p(y), откуда . Используя данные подстановки преобразуем данное уравнение к виду

.

Интегрируя, получим .

Получили дифференциальное уравнение первого порядка

, (*)

Решая которое получим: .

Итак, общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частный интеграл, для этого в общий интеграл и в уравнение (*) подставим начальные условия y(0)=0, y'(0)=-3. Получаем систему двух уравнений для определения постоянных С₁ и С₂.

.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид y³ – y= 3x.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: