Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и ее производной.

Линейное уравнение в общем виде записывается так:

y' + P(x)y = Q(x

Это уравнение сводиться к двум уравнениям с разделяющимися переменными, если искомую функцию у заменить двумя функциями u=u(x) v=v(x) следующим образом y=uv. Тогда y' = u'v + uv', и данное уравнение примет вид:

,

Сгруппируем второе и третье слагаемые левой части уравнения и вынесем общий множитель и за скобку:

. (*)

В силу того, что одну из вспомогательных функций, например v, можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль:

-

-это уравнение с разделяющимися переменными, решив которое найдем функцию v=v(x). Вернемся к уравнению (*) и подставим в него найденное значение функции v(x):

u'v(x) = Q(x)

это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, найдем

и = и (х,С), тогда общее решение линейного дифференциального уравнения равно:

y = u(x,C)v(x).

Пример 10.4. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′cosx – ysinx = cos²x.

Решение. Преобразуем уравнение

y′ – ytgx = cosx

Полагаем y=uv, тогда y' = u'v + uv' и данное уравнение примет вид:

u'v + uv'-uvtgx=cosx,

u'v + u[v'-vtgx]=cosx (*)

Приравниваем квадратную скобку к нулю и решаем полученное уравнение:

Подставив в уравнение (*), получим уравнение из которого находим u:

Итак .

Окончательно получаем: .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: