Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение
y'' + py' +qy = 0
где p и q – числа.
Для того, чтобы решить это уравнение надо составить характеристическое уравнение, которое получается из данного уравнения, если в нем заменить y"=k2, y'=k, a y=k0=1.
k2 + pk + q = 0 -
- это квадратное уравнение.
Общее решение характеристического уравнения строиться в зависимости от характера его корней.
Возможны три случая:
- дискриминант квадратного уравнения больше нуля D > 0, уравнение имеет два действительный различных корня, k1≠ k2, и общее решение характеристического уравнения имеет вид:

- дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю D= 0, уравнение имеет два действительный кратных корня, k1= k2= k, и общее решение уравнения имеет вид:

- дискриминант квадратного уравнения меньше нуля D < 0, уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней, k1,2= α ± βi, и общее решение уравнения имеет вид:

Пример 10.8. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"+7y'+6y=0.
Решение. Составим характеристическое уравнение
k2+7k+6=0.
Решим его: D=49-24=25, k1= -1, k2 = -6. Так как корни действительные и разные, то, согласно формулы, получаем общее решение:
y = C1e-x + C2e-6x.
Пример 10.9. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"-6y'+9y=0.
Решение. Составим характеристическое уравнение
k2 - 6k +9=0.
Решим это уравнение: D = 36 -36 = 0, k1 = k2 =3. Характеристическое уравнение имеет два действительных кратных корня, следовательно, общее решение находим по формуле:
y = (C1x + C2)e3x.
Пример 10.10. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"-4y'+13y=0.
Решение. Составим характеристическое уравнение
k2 – 4k +13 = 0.
Решим его. Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, D=-36, уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней, k1,2= 
(α=2, β=3) и общее решение уравнения имеет вид:
y = e2x(C1cos3x + C2sin3x).
Пример 10.11. Найти частное решение дифференциального уравнения
y"-5y'+4y=0, удовлетворяющее начальным условиям у'(0)=8, у(0)=5.
Решение. Сначала найдем общее решение, для этого составим
характеристическое уравнение
k2 – 5k +4 = 0.
Дискриминант этого уравнения D=1, следовательно, уравнение имеет два действительный корня, k1 = 2, k2 = 3 и общее решение уравнения имеет вид:
y = С1e2x +C2e3x.
Чтобы найти частное решение, сначала найдем у'=2С1e2x +3C2e3x, а затем подставим в общее решение и в производную от функции-решения у начальные условия и получим систему для определения постоянных С1 и С2.
.
Решив систему получили С1=7, С2 = -2.
Таким образом искомое частное решение имеет вид: y =7e2x – 2e3x.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|