Решение типовых примеров.

Уравнения, связывающие независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.

В общем виде дифференциальное уравнение n – го порядка имеет вид:

F(x, y, y', y′', …,y⁽ⁿ⁾)=0

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Решение уравнения, зависящее от n произвольных постоянных С₁, С₂, …, С_n, называется общим решением, и имеет вид:

y= f(x,C₁, C₂, …,C_n)

Если решение уравнения получено в неявном виде (3.3), то оно называется общим интегралом.

φ(x, y, C₁, C₂, …, C_n) = 0

Задача Коши: среди всех решений дифференциального уравнения требуется найти решение y=f(x), для которого функция f(x) вместе со своими производными до (n-1)- го порядка включительно принимает заданные значения y₀, y₀', y₀^'',…,y₀^(n-1) при заданном значении х₀ аргумента х, т.е.

y₀ = f(x₀)

y₀'= f'(x₀)

y₀^'' = f''(x₀)

y₀^(n-1)=f^(n-1)(x₀)

где х₀,у₀, y₀', y₀^'',…,y₀^(n-1) – заданные числа.

Эти условия называются начальными условиями решения y=f(x), а само это решение – частным решением дифференциального уравнения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: