Теоретический материал. "Математика (греч. matein - знание, наука) - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира

"Математика (греч. matein - знание, наука) - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Первые понятия о математике появились в Древней Греции в 6-5 веках до нашей эры. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математических понятий, а 6-5 вв. до н. э. - время появления элементарной математики, продолжавшегося до 16 в. В течение этих двух первых периодов математические исследования стояли на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми потребностями хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам, навигации и т. п. Единственной наукой, зародившейся задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17-18 вв. была астрономия, которая изрядно ускорила раннее развитие тригонометрии. Дальнейшее расширение круга аспектов, изучаемых математикой, привело в начале 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математических исследований более подробно и сознательно. Создание Н. И. Лобачевским его "воображаемой геометрии", получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные черты, и, следовательно, 19 и 20 вв. принято считать периодом современной математики.

Итак подведём итог сказанному: счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий(сложение, вычитание, умножение и деление). Потребности измерения количества зерна, длины дороги и т. п. приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом накапливался материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, существование астрономии, вызывают развитие геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Древнем Египте и Вавилоне.

В Вавилоне на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начала алгебры, а в связи с запросами астрономии - тригонометрия.
Текстовые задачи в математике играют очень важную роль. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления.
Все математические задачи появились из практического соображения. Ещё в далёком прошлом одним из стимулов изучения математики была потребность зарождающегося строительства и, возникшей вслед за ним, архитектуры. Остановимся на вопросе о классификации задач. Все текстовые математические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, связанных между собой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые действия), называется составной. Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль.

С помощью решения простых задач формируется одно из главных понятий начального курса математики – понятие об арифметических действиях. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению её на ряд простых задач и к последовательному их решению.

Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования
(вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме.

В наше время существует огромное множество задач, но из них выделяют три основных типа: задачи на движение, процентное содержание и на работу. Каждый тип задач также может осложняться различными условиями.

Итак, для начала разберём простые и составные задачи на базовом уровне, а потом осложнённые.

Задачи на движение.

Задачи на движение, как правило представляют собой задачи с использованием объектов, совершающих какое-либо действие. Это могут быть пешеходы, велосипедисты, автомобили, лодки и так далее. Существует 3 вида задач на движение: движение двух объектов навстречу друг другу, движение в противоположных и обратных направлениях, движение из одной точки в одном направлении. Доминирующими понятиями в таких задачах являются скорость(V), время(t) и расстояние(S) и формула, связывающая эти понятия: S = V * t. Для начала разберём простые задачи, решающиеся в одно действие, для того чтобы закрепить эти понятия. Рассмотрим задачу: "Расстояние от города до поселка 30 км. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 6 км/ч?" Эта задача требует изначальные понятия арифметики, такие как деление, и решается в одно действие. Подставив формулу t=S/v получим: 30км / 6км/ч = 5ч. В итоге записываем ответ: Пешеходу потребуется 5 часов. В данной задаче мы находили время.

Рассмотрим ещё одну простую задачу нахождения скорости пешехода: "От деревни Ивантеевки до села Воронова 20 км. Миша был в пути 4 часа. С какой скоростью перемещался Миша?"

Данная задача также простая и решается при подстановке формулы V=S/t: 20 км / 4ч =5км/ч. Миша перемещался со скоростью 5км/ч.

Перейдём к решению составных задач, и для начала рассмотрим задачи движения двух объектов навстречу друг другу:

«От пункта А до пункта B 36 км. Первый пешеход вышел из пункта А со скоростью 5 км/ч а второй пешеход из пункта B со скоростью 4 км/ч. Через сколько времени они встретятся?»

В этой задаче уже нужно представить картинку и проанализировать свои дальнейшие действия. Первым действием мы находим суммарную скорость пешеходов: 4 км/ч + 5 км/ч = 9 км/ч. Вторым действием мы находим время, формулу времени выражаем из формулы нахождения расстояния: t = S / V. Получаем: 36 км / 9 км/ч = 4 часа.

В итоге записываем ответ: Пешеходы встретятся через 4 часа.

Данные задачи были простые, так как не было введено осложняющих условий, таких как: разное время старта движения объектов; изменение скорости на различных участках пути; задержка на различных участках пути. Далее рассмотрим задачи повышенной сложности из подготовительных курсов ЕГЭ.

Задача: Из города А в город В выезжает велосипедист, а через три
часа после его выезда из города В выезжает навстречу ему мотоциклист,
скорость которого в три раза больше скорости велосипедиста. Велосипедист
и мотоциклист встречаются посередине между А и В. Если бы мотоциклист
выехал не через три часа, а через два часа после велосипедиста, то встреча произошла бы на 15 км ближе к А. Найти расстояние между А и В.

Обозначим искомое расстояние между А и В через S км, скорости велосипедиста и мотоциклиста - v1 км/ч и v2 км/ч, соответственно. Запишем условия задачи и уравнения, соответствующие этим условиям. Скорость мотоциклиста в три раза больше, чем скорость велосипедиста: это означает, что v 2 = 3 v 1. Велосипедист и мотоциклист встречаются посередине между А и В, причем мотоциклист выехал из В на 3 часа позже, чем велосипедист из города А.

Следовательно:

.

Если бы мотоциклист выехал через 2 ч после велосипедиста, то встреча произошла бы на 15 км ближе к А.

Поэтому:

.

Используя эти уравнения можно записать следующее:

1) .

2) .

Из первого уравнения этой системы получаем, что v₁=S/9. Подставляя
во второе уравнение системы это соотношение, получаем уравнение для
нахождения величины S:

.

Тогда S = 180. Запишем ответ: Расстояние между городами А и В равно 180 км. Эта задача была осложнена различным временем старта объектов.

Следующий тип задач на движение это задачи в противоположных и обратных направлениях. Для начала рассмотрим неосложнённую составную задачу: «Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два лыжника. Через 3 часа расстояние между ними было 60 км. Чему равна скорость второго лыжника, если скорость первого 11 км/ч?»

В данной задаче для начала нужно найти суммарную скорость двух лыжников: 60 км / 3 ч = 20 км/ч, и следующим действием нужно найти скорость второго лыжника, путём вычитания скорости первого из суммарной скорости лыжников: 20 км/ч – 11 км/ч = 9 км/ч.

Запишем ответ: скорость второго лыжника равняется 9 км/ч.
Данный тип задач может осложняться всеми предыдущими признаками и также объекты могут изменять своё направление во время движения.
Теперь разберём задачу повышенной сложности (Задача из подготовительных материалов по ЕГЭ):

"Из пункта А в пункт В выехал автомобиль, и одновременно из пункта В в пункт А выехал велосипедист. После встречи они продолжали свой путь. Автомобиль, доехав до пункта В, повернул назад и догнал велосипедиста через 2 часа после момента первой встречи. Сколько времени после первой встречи ехал велосипедист до пункта А, если известно, что к моменту второй встречи он проехал 2/5 всего пути от В к А?"

Решение: Введем следующие неизвестные переменные: расстояние S км между пунктами A и В, скорости велосипедиста и автомобилиста V ₁ км/ч и V ₂ км/ч, соответственно, tч — время от начала движения до первой встречи. Используем условия задачи. К моменту первой встречи t автомобиль и велосипедист вместе проезжают все расстояние между A и В: (v₁+v₂)*t=S. Через два часа после момента первой встречи автомобиль, доехал до пункта В и повернув, догнал велосипедиста, т.е. путь, пройденный автомобилем, складывается из удвоенного расстояния, пройденного велосипедистом до первой встречи, и расстояния, которое велосипедист проехал за 2 часа: 2 V ₂ = 2 tV ₁ + 2 V ₁.
К моменту второй встречи велосипедист проехал 2/5 всего расстояния
между пунктами А и В: v₁(t+2)=2/5*S. Неизвестное х, которое требуется найти по условию задачи, представляет собой время, необходимое велосипедисту, чтобы доехать до пункта А после первой встречи. Оно может быть выражено как следующая комбинация неизвестных V ₁, V ₂ и t:

Из уравнений получаем систему:

	(v1+v2)*t=S
2 V 2 = 2 tV 1 + 2 V 1
v1(t+2)=2/5S

Определим t и выразим отношение скоростей V ₁ и V ₂ через t. Из второго уравнения получается следующее: v₂/v₁=t+1 (1). Исключая S из первого и третьего уравнений системы и учитывая равенство (1), получаем для неизвестной t уравнение t(t+2)=(t+2)*2/5 корни которого t ₁ = −2 и t ₂ = 5/2. Так как по физическому смыслу задачи t > 0, то искомое неизвестное

Ответ: 8 часов 45 минут.

Последний тип задач это задачи на движение в одном направлении. Также, как при разборе предыдущих типов, начнём с лёгкой составной задачи:

«От города до посёлка автобус ехал 2 часа со скоростью 75 км/ч. Сколько времени понадобится велосипедисту, чтобы проехать этот путь со скоростью 15 км/ч?»

Для начала найдём расстояние от города до посёлка: 75 км/ч * 2 ч = 150 км. Теперь найдём время, за которое велосипедист проедет это расстояние со скоростью 15 км/ч: 150 км / 15 км/ч = 10 часов. Запишем ответ: на преодоление пути велосипедисту понадобится 15 часов.

Рассмотрим ещё одну составную задачу:

"Мужчина и мальчик вышли из совхоза в огород одновременно и идут одной и той же дорогой. Скорость мужчины 5 км/ч, а скорость мальчика 3 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?"

Задача также не имеет никаких осложнений и решается в два действия. Для начала находим скорость удаления, т.к. мужчина идёт быстрее мальчика: 5 км/ч - 3 км/ч = 2 км/ч. И затем находим расстояние между мужчиной и мальчиком через два часа: 2 км/ч * 3 ч = 6 км. Ответ: 6 км.

Теперь перейдём к задаче повышенной сложности на движение объектов в одном направлении:

"Из города А в город В, находящийся на расстоянии 105 км от А, с постоянной скоростью v км/ч выходит автобус. Через 30 минут вслед за ним из А со скоростью 40 км/ч выезжает автомобиль, который, догнав автобус, поворачивает обратно и движется с прежней скоростью. Определить все те значения v, при которых автомобиль возвращается в город А позже, чем автобус приходит в город В."

Для начала Наряду с неизвестной скоростью автобуса v введем также неизвестное t время, прошедшее от момента отправления автобуса до встречи его с автомобилем. Первое уравнение представляет собой математическую запись того, что автомобиль, вышедший на 0,5 ч позже, догнал автобус, который к моменту его выхода отъехал от города А на 0,5 v км:

. (1)

Второе условие, которое выражено в виде требования, заключается в том, что автобус должен дойти до города В быстрее, чем автомобиль вернется в город А. Очевидно, что для возвращения автомобилю понадобится столько же времени, т.е. t, а автобусу, чтобы доехать до города В, понадобится время 105-40t/v. Тогда требование можно записать как неравенство:

. (2)

Подставляя в неравенство (2) t из уравнения (1), получаем относительно v следующее неравенство:

. (3)

Так как автомобиль должен был догнать, второе неравенство имеет вид

или

. (4)

Решение системы неравенств (3) и (4) представляет собой промежуток (30;33,6].

Ответ: Скорость автобуса должна находится в промежутке (30;33,6].

Задачи на течение представляют собой все типы задач на движение, только осложненные ещё одной величиной - скоростью течения. Течение - это скорость передвижения реки. Она может быть как положительна, так и отрицательна, соответствуя движению тела: по течению или против.

Рассмотрим следующую задачу:

"Скорость катера по течению 18,6 км/ч, а против течения 14,2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения."

Первым действием найдём скорость течения вычтя из скорости лодки по течению скорость лодки против течения.

Получим: 18,6 км/ч - 14,2 км/ч = 4,4 км/ч. Теперь найдём собственную скорость лодки вычтя из скорости по течению скорость против течения и разделив на два: (18,6 - 14,2)/2 = 2,2 км/ч.

Ответ: скорость течения равна 4,4 км/ч и скорость лодки равна 2,2 км/ч.

Теперь рассмотрим осложнённую задачу:

"От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом от той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость плота, если известно, что собственная скорость моторной лодки больше скорости плота на 9 км/ч?"

Обозначим собственную скорость лодки (т.е. скорость в стоячей воде) через v₁ км/ч, а скорость течения реки (и, следовательно,
плота) — через v₂ км/ч.

По условию задачи собственная скорость моторной
лодки больше скорости плота на 9 км/ч: v ₁ − v ₂ = 9.

Моторная лодка, двигаясь по течению реки, прошла 20 км за время 20/v₁+v₂ час; плот прошел те же 20 км за время 20/v₂. Так как время, за которое плот проплыл 20 км, на 5 час 20 мин (т.е. на 16/3 часа) больше времени, за которое то же расстояние проплыла моторная лодка, то:

.

Таким образом, решение задачи сводится к решению системы:

Из первого уравнения получаем v ₁ = v ₂ + 9. Подставляя во второе уравнение это соотношение, получаем уравнение для нахождения v₂:

,

или

+21 0.

Решая последнее уравнение, находим v₂ = 3. (Второй корень уравнения v₂ = -45/8 не подходит по смыслу задачи).

Записываем ответ: Скорость течения реки (а также скорость плота) равна 3 км/ч.

Задачи на процентное содержание.

Процент» (лат. pro centum «на сотню», «со ста» или «за сотню»). В математике возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же величинах, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности в Вавилоне. Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.
По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством. Есть мнение, что понятие процент ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584 г. он опубликовал таблицы процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского pro cento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента.

В наши дни проценты употребляются для сравнения однородных положительных количеств. Один процент – это по определению одна сотая часть: 1%=1/100.

Решение любых задач на проценты сводится к основным трём действиям с процентами:
- нахождению процентов от числа; например найти 15% от числа 60.

Сначала нужно найти 1% от числа 60. Для этого 60/100=0,6 так как 1% =1/100 числа. Теперь найдём 15% умножив 0,6*15=9.

Ответ: 9.

- нахождению числа по его процентам; например найти число, 12% которого равны 30. 12% неизвестного числа нам известны - это 30. Обозначим неизвестное число за х, и пусть оно будет 100%. Тогда рассмотрим следующую пропорцию:

12%–30

100%– x, отсуда

x=(30*100%)/12%=250.

Ответ: 250.

- нахождению процентного отношения чисел; например сколько процентов составляет 120 от 600?

Составим также пропорцию:

600 – 100%

120 – x %, отсуда

x=(100%*120)/600=20%.

Ответ: 20%.

Перейдём к решению типовых задач для подготовки к ЕГЭ.

Задача 1:" Магазин в первый день продал 49% имеющихся овощей. За второй день он продал 80% овощей, проданных в первый день. В третий день - оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов овощей было в магазине первоначально?" Обозначим за х(кг) - вес имевшихся в магазине овощей. Тогда в первый день магазин продал 0,4х(кг), а за второй день - 0,8 * (0,4 * х) кг. Зная, что в третий день было продано 28 кг овощей, составим уравнение:

0,4х+0,8*0,4х+28=х
0,28х=28
х=100.
Задача 2: "Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем ещё на 20%. Какова окончательная цена товара?" Первое снижение цены товара было на 0,1*1000 = 100 руб. После первого снижения цена товара составляла 1000 - 100=900 руб. Второе снижение цены было на 0,2*900=180 руб. После второго снижения цена товара составила 900 - 180=720 руб.

Ответ: 720 рублей.

Задача 3: "Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?"

Данная задача на так называемые "сложные проценты". Так говорят, когда речь идёт о поэтапном изменении некоторой величины. В данном случае рассмотрим два этапа - на первом начисляется процент на сумму, находившуюся на счету первый год, а на втором этапе производится начисление процентов на сумму, получившуюся после первого этапа, т.е. на сумму с уже начисленными процентами после первого года. 1000 рублей - первоначальная сумма вклада. Начисленные проценты после первого года составят 0,03 * 1000. По окончании первого года на счету окажется 1000+0,3*1000=1030.По окончании второго года проценты составят 0,03*1030=30,9.Таким образом, после двух лет сумма вклада составит 1030+30,9=1060,9. Первоначальный вклад был увеличен на 60,9 рублей.

Задача 4: "Найдите первоначальную сумму вклада (в рублях), если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых?" Для начала введём переменную А - первоначальная сумма вклада. Тогда через год сумма вклада составила А+0,3А = А*(1+0,3)=1,03*А. За второй год проценты составили 0,03 * (1,03*А). Через два года сумма вклада станет равной 1,03 * А+0,03(1,03*А)=1,03 *1,03А. Получаем уравнение:

1,03*1,03*А=А+304,5
0,0609*А=304,5
А=5000.

Ответ: первоначальная сумма вклада равна 5000 рублей.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: