Задачи на совместную работу.

Рассмотрим еще один тип задач - задачи на совместную работу. В таких задачах обычно какую либо работу выполняют несколько человек или механизмов, работающих с постоянной для каждого из них производительностью.

Начнем с некоторых указаний к задачам данного типа:
- основными компонентами задач являются объём выполняемой работы (если он неизвестен и не является искомым, то принимается за 1 - А), время(t), производительность(1/t);
- сначала желательно рассмотреть алгоритм решения задачи (например при помощи таблицы)

Далее перейдём к решению различных задач данного типа. При решении таких задач возможны два случая:

1) объем выполненной работы известен;

2) объем выполненной работы неизвестен.

Первый тип задач удобно решать, используя таблицу. Рассмотрим следующую задачу: " Два токаря вместе изготовили 350 деталей. Первый токарь делал в день 40 деталей и работал 5 дней, второй работал на 2 дня меньше. Сколько деталей в день делал второй токарь?" Составим таблицу:

Токарь	Производительность	Время	Количество
	40 деталей	5 дней
	?	На 2 меньше

Так как известны производительность и время работы первого токаря, найдем количество деталей, изготовленных первым токарем.

40*5 = 200 (дет.) – изготовил первый токарь.
Работая с таблицей, делаем вывод, что можно найти, сколько деталей изготовил второй токарь.350 – 200 = 150 (дет.) – изготовил второй токарь.Обратив внимание на опорные слова «на…меньше», делаем вывод, что можно найти, сколько дней работал второй.5 – 2 = 3 (дня) – работал второй токарь.Зная количество и время работы второго токаря, находим его производительность:150 / 3 = 50 (дет.) – изготовлял второй токарь в день.
Для решения задач второго типа, текст задачи можно проиллюстрировать чертежами.

Рассмотри задачу: " Новая машина может выкопать канаву за 8 часов, а старая – за 12. Новая работала 3 часа, а старая - 5 часов. Какую часть канавы осталось выкопать?"

Рассмотрим чертёж:

Дадим наглядное представление этих задач. Условимся, что объем выполненной работы неизвестен, поэтому принимаем его за 1 и изображаем в виде отрезка, но отрезков будет три, так как возможны три случая: 1. работает одна старая машина; 2. работает одна новая машина; 3. работают вместе обе машины. Обе машины выполняют одну и ту же работу, следует отрезки равной длины.

Для начала разделим первый отрезок на восемь частей, так как работа выполняется за 8 часов. Так как новая машина работала 3 часа, то выполнила части все работы. Отмечаем на третьем отрезке - .
Аналогичные рассуждения проводим, рассматривая старую машину, и отмечаем на третьем отрезке - . Теперь находим какую часть работы выполнили машины вместе. Для этого сложим + = . И в итоге находим часть оставшуюся часть канавы: - = . Ответ: часть канавы им осталось выкопать.

Теперь рассмотрим осложнённую задачу из подготовительных курсов ЕГЭ:

"Бак заполняют керосином за 2 часа 30 минут с помощью трёх насосов, работающих вместе. Производительность насосов относится как 3:5:8. Сколько процентов объёма будет заполнено за 1 час 18 минут совместной работы второго и третьего насоса?" Решение: так как объём бака не указан, то примем его за 1. Пусть коэффициент пропорциональности равен х, тогда производительности насосов равны 3х, 5х, 8х. И время наполнения бака при совместной работе всех трёх насосов равно = или, по условию задачи, 2 часа 30 минут.

Решим уравнение: = 2,5; х = .
Производительность второго насоса равна * 5 = .
Производительность третьего насоса равна * 8 = .
Совместная производительность второго и третьего насоса равна + = .
За 1 час 18 минут второй и третий насосы наполнят * = * 1,3 = =0,4225 * 100% = 42,25% объёма бака. Ответ: за 1 час 18 минут будет заполнено 42,25% бака.

Рекомендуемая литература:

Основные источники:

1. Башмаков М.И., математика: учебник для нач. и сред. Проф. образования, -М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2010.- 256 с.

2. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М., 2005.

3. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2005.

4. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2005.

5. Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2004.

Дополнительные источники:

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.

3. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М., 2005.

4. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2005.

5. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2005.

6. Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2004.

7. Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 кл. – М., 2004.

8. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.

9. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1). – М., 2003.

10. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 2). – М., 2003.

11. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования. – М., 2004.

12. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2003.

13. Смирнова И.М. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.

Интернет ресурсы:

1. Колмогоров А.Н. (ред.) — Алгебра и начала анализа: Электронная книга. Lib.mexmat.ru/books/3307

2. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник. Мордкович

e-ypok.ru/content/

3. Математика для колледжей» Математический Портал – библиотека math-portal.ru

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: